离散傅里叶变换学习目标1掌握DFT的定义物理含义2.DOC

第3章　离散傅里叶变换　　一、学习目标 　　1.掌握DFT的定义、物理含义；　　2.熟练掌握圆周卷积的计算，线性卷积和圆周卷积的关系；　　3.掌握DFT进行谱分析三种误差产生的原因及解决办法；　　4.了解频域采样定理。　　二、本章导航 　　3.3离散傅里叶级数　　3.4离散傅里叶变换　　3.5频域采样理论　　3.6用DFT计算线性卷积　　3.7用DFT进行频谱分析　　DFT是为适应计算机分析傅里叶变换规定的一种专门运算，本章是数字信号处理课程的重点章节。　　3.3离散傅里叶级数 　　1.周期序列的离散傅里叶级数 　　连续时间周期信号可以用傅里叶级数表示，离散周期序列也可以表示成傅里叶级数形式。 　　周期为N的复指数序列的基频序列为　　k次谐波序列为　　由于，即，因而，离散傅里叶级数的所有谐波成分中只有N个是独立的。因此在展开成离散傅里叶级数时，我们只能取N个独立的谐波分量，通常取k=0到(N-1)，即 　　　　　　　　（*） 式中，1/N是习惯上采用的常数，是k次谐波的系数。利用 　　　　　　将（*）式两端同乘以，并对一个周期求和 　　　　即 　　　　　　由于 　　　　　　所以也是一个以N为周期的周期序列。因此，时域离散周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍然是一个周期序列。 　　令，则 　　　　　　　　其中，符号DFS[.]表示离散傅里叶级数正变换，IDFS[.]表示离散傅里叶级数反变换。 　　2.周期序列的傅里叶变换 　　思路：由　　利用和DTFT的频移特性，可得 　　　　 　　一、重点与难点　　1.DFT的定义、性质，DFT与z变换、DTFT之间的关系；　　2.循环卷积的计算； 　　3.频域采样定理；　　4.圆周卷积和线性卷积的关系，DFT计算线性卷积的框图；　　5.DFT进行谱分析参数选择，三种误差产生的原因及解决办法。 　　二、具体讲解　　1.频域采样定理　　离散傅里叶变换相当于信号傅里叶变换的等间隔采样，也就是说实现了频域的采样，便于计算机计算。那么是否任一序列都能用频域采样的方法去逼近呢？这是一个很吸引人的问题。　　我们考虑一个任意的绝对可和的序列x(n)，它的z变换为　　　　　　如果对X(z)单位圆上进行等距离采样　　　　　　现在要问，这样采样以后，信息有没有损失？或者说，采样后所获得的有限长序列xN(n)能不能代表原序列x(n)。　　　　　　为了弄清这个问题，我们从周期序列开始　　　　　　　　　　　　由于　　　　所以　　　　　　也即是原非周期序列x(n)的周期延拓序列，其时域周期为频域采样点数N。在第一章我们看到，时域的采样造成频域的周期延拓，这里又对称的看到，频域采样同样造成时域的周期延拓。　　因此，如果序列x(n)不是有限长的，则时域周期延拓时，必然造成混叠现象，因而一定会产生误差。　　对于长度为M的有限长序列，只有当频域采样点数N大于或等于序列长度M时，才有　　　　即可由频域采样值X(k)恢复出原序列x(n)，否则产生时域混叠现象，这就是所谓的频域采样定理。　　2.用DFT进行谱分析的误差问题 　　（1）混叠现象　　利用DFT逼近连续时间信号的傅里叶变换，为避免混叠失真，按照抽样定理的要求，采样频率至少是信号最高频率的两倍。　　 解决混叠问题的唯一方法是保证采样频率足够高。　　（2）频谱泄露　　 任何带限信号都是非时限的，任何时限信号都是非带限的。实际问题中遇到的离散时间序列可能是非时限的、无限长序列，在对该序列利用DFT进行处理时，由于作DFT的点数总是有限的，因此就有一个必须将该序列截断的问题。序列截断的过程相当于给该序列乘上一个矩形窗口函数RN(n)。如果原来序列的频谱为，矩形窗函数的频谱为，则截断后有限长序列的频谱为　　　　　　由于矩形窗函数频谱的引入，使卷积后的频谱被展宽了，即的频谱“泄露”到其它频率处，称为频谱泄露。　　在进行DFT时，由于取无限个数据是不可能的，所以序列的时域截断是必然的，泄露是难以避免的。为了尽量减少泄露的影响，截断时要根据具体的情况，选择适当形状的窗函数，如汉宁窗或汉明窗等。　　（3）栅栏效应　　由于DFT是有限长序列的频谱等间隔采样所得到的样本值，这就相当于透过一个栅栏去观察原来信号的频谱，因此必然有一些地方被栅栏所遮挡，这些被遮挡的部分就是未被采样到的部分，这种现象称为栅栏效应。由于栅栏效应总是存在的，因而可能会使信号频率中某些较大的频率分量由于被 “遮挡”而无法得到反映。此时，通常在有限长序列的尾部增补若干个零值，借以改变原序列的长度。这样对加长的序列作DFT时，由于点数增加就相当于调整了原来栅栏的间隙，可以使原来得不到反映的