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第一章 绪论 第二章 平面问题的有限元法 第三章 空间问题和轴对称问题有限元法 第四章 等参数单元 主要内容： 第4章 等参数单元 为了提高单元计算精度，又能适应结构任意形状的边界，在实践中发展了等参数单元。如8节点四边形等参数单元、20节点六面体等参数单元等。 等参数单元：以规则形状单元的位移函数相同阶次函数为单元几何边界的变换函数，进行坐标变换所获得的单元。由于单元几何边界的变换式与规则单元的位移函数有相同的节点参数，故称由此获得的单元为等参数单元。 优点：能很好的适应曲线边界和曲面边界，能准确地模拟结构形状；具有较高次的位移函数，能很好地反映结构的复杂应力分布情况，即使单元网格划分的比较稀疏，也可以得到较高的计算精度。 等参数单元的基本思路： 1.导出规则单元（基本单元）的形函数， 2.采用坐标变换方法，从而导出对应的不规则单元（实际单元）的形函数和单元刚度矩阵。 由易到难，由规则单元的特殊情况推广到不规则单元的一般情况。这是等参数单元方法的精髓。 4.2 平面8节点 四边形等参数单元 在局部坐标系中，四个节点坐标分别是即为（-1，-1），（1，-1），（1，1），（-1，1）。 1、位移函数 双线性函数 形函数 2、单元应变 几何方程 3、单元应力 四节点矩形单元不再是常应力单元。 根据物理方程： 4、单元刚度矩阵 写成分块形式： 5、整体平衡方程 将各单元的 、 和 都扩大到整个弹性体自由度的维数，再进行叠加，便可得到整个弹性体的平衡方程，它仍具有如下的形式 引入位移约束条件，解上述线性方程组可得节点位移，进而可求各单元应力。 6、矩形单元与三角形单元的比较： 3、但矩形单元也存在明显的缺点：从单元的几何形状看，矩形单元比三角形单元的适应性要差。一是不能适应斜线及曲线边界，二是不便于对不同部位采用大小相等的单元。 2、在弹性体中,若用相同数目的节点时，矩形单元比三角形单元能更好地反映应力急剧变化的情况，所以计算精度高。 1、矩形单元为双线性位移模式，所以单元的应力、应变分量都不是常量。 可以把矩形单元和三角形单元混合使用。 图11-25 结构变形图 图11-27 节点等效应力等值线图 第一章 绪论 第二章 平面问题的有限元法 第三章 空间问题和轴对称问题有限元法 第四章 等参数单元 主要内容： 长方体 截面为正方形的圆环 第3章 空间问题和轴对称问题的有限元法 当形状、载荷及边界条件不具备某种特殊性，不能简化为平面问题和轴对称问题处理时，则作为空间问题来分析。 空间问题的计算比较复杂： （1）网格划分比较困难，需要占用较长的时间； （2）计算模型大，计算机存储空间和计算时间消耗大。 3.1 空间问题的特点 常用的空间类型：四面体、五面体或六面体 3.2 采用四面体单元解一般空间问题 3.2.1 结构离散化 单元节点编码按右手法则 1.根据约束情况，在相应的节点处设置空间铰支座或连杆支座。 2.单元所受的外载荷，可以按虚功等效原则移置到节点上。 3.基本未知量仍然是节点位移。 单元间通过节点相互作用，进行力的传递。 其分析思路和平面问题完全相似。 3.2.2 单元位移函数 整个单元的节点位移列阵： 空间问题中，任一点位移具有三个位移分量： 在单元内选取线性位移模式： 可求出 用矩阵形式表示为： 3.2.3 单元的应变与应力 利用几何方程，求该点的应变 单元应力 D为弹性矩阵，完全取决于弹性模量E和泊松比 应变为常量，四面体单元应力也为常量，即4节点四面体单元为常应力单元。 3.2.4 单元刚度矩阵 建立整体平衡方程 3.3 轴对称问题的有限元法 3.3.1 轴对称问题定义 结构的几何形状、承受的载荷以及约束条件都对称于某一固定轴。此时在载荷作用下，结构所产生的位移、应变和应力也对称于该轴，这类问题称为轴对称问题。是空间问题的一种特殊情况。 一般采用圆柱坐标 。由对称性可知，所有的位移、应力、应变都将与 无关，只是r和z的函数。任一点的位移只有r、z两个方向的分量即 ， 方向的位移v为0。 因此该问题转化为二维问题。 3.3.2 基本变量和基本方程 1.基本变量 2.基本方程： 几何方程： 物理方程： 用应变分量表示应力分量： 3.3.3 轴对称问题单元分析 单元是一些圆环。 节点是圆周状（环状）的铰链，故也称为节圆 。 圆环单元实际上是rz平面内形成网格的各多边形环绕对称轴z回转一周而成的。