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单因素方差分析 双因素方差分析 * 方差分析 概述 方差分析是研究一种或多种因素的变化对试验结果的观测值有否显著影响，从而找出较优的试验条件或生产条件的一种常用的数理统计方法。 人们在试验中，所考察的数量指标如产量、性能等称为观测值，影响观测值的条件称为因素，因素的不同状态称为水平，一个因素可以有多个水平，在一项试验中，可以得出一系列不同的观测值。引起观测值不同的原因是多方面的，有的是处理方式或者条件不同引起的，称为因素效应（处理效应、条件变异），有的是试验过程中偶然因素干扰或观测误差导致的，称为试验误差。方差分析的主要工作是将观测数据的总变异按照变异原因的不同分解为因素效应和试验误差。并对其做出数量分析，比较各种原因在总变异中所占的重要程度，作为统计推断的主要依据。由此确定进一步的工作方向。 例1 利用四种不同的配方的材料A1,A2,A3,A4生产出来的元件，侧得其使用寿命如下表所示。问四种不同的配方下元件使用寿命有无显著差异？ 1600 1640 1570 1530 1520 1510 A4 1800 1740 1600 1640 1620 1600 1550 1640 A3 1750 1700 1400 1640 1500 A2 1780 1700 1700 1680 1650 1610 1600 A1 使用寿命 材料 分析问题：这个问题中，影响元件寿命的因素是材料配方，四种不同的配方表明因素有4种水平。这样的试验称为单因素四水平试验。从观测数据可以看出，不仅不同配方下元件的寿命不同，且同一配方下元件的寿命也不一样。数据波动的原因归纳如下： 其一，同样配方下，试验条件大体相同，因此，数据的波动由于其它随机因素的干扰引起的。设想在同一配方下，元件的寿命应该有一个理论上的均值，而实测寿命数据与均值的偏离即为随机误差，此误差应该服从正态分布。 其二，不同配方下，使用寿命有不同的均值，它导致不同组的元件寿命数据不同。 分析结论的推广：设试验只有一个因素A在变化，其它因素都不变。A有r个水平A1,A2,…,Ar，在水平Ai 下进行ni次独立观测，得到试验指标列表如下 Xr，nr … xr1 Ar … … … … … X2，n2 … x21 A2 X1，n1 … X11 A1 总体 观测值 水平 x(ij)表示在因素A的第i个水平下的第j次试验的试验结果。 将水平Ai下的试验结果x(i1),x(i2),…,x(I,ri)看着来自第i个正态总体Xi~N(mu(i),sigma^2),其中，mu(i),sigma^2均未知，且X(1),X(2),…,X r相互独立。 Mu(i)是第 i 总体的均值，epsilon(ij)是相应的试验误差，比较A的r个水平的差异归结为比较这r个总体地均值，即检验假设： 统计模型1 假设（1） Mu表示总和的均值，alpha(i)为水平Ai对指标的效应，则模型1可以等价变形到模型2 统计模型2 那么，假设（1）可以等价为如下假设（2） 假设（2） 为了导出H0的检验统计，构造： 经过计算可以证明如下平方和分解公式 称ST 为总的离差平方和（总变差），描述所有观测值的离散程度 SE为随机误差的影响，称为误差平方和或组内平方和 SA称为因素A的效应平方和或组间平方和。 由模型2和假设（2）成立条件下可以得到如下统计量及其分布 F就是H0的检验统计量，对于给定alpha，用Falpha （r-1,n-r)表示F-分布的上分位点。若F Falpha （r-1,n-r),则拒绝H0,即认为因素A的r个水平有显著差异。也可以计算P-值，P{F Falpha （r-1,n-r)}，显然，P-值小于alpha等价于F Falpha （r-1,n-r)，表示在显著水平alpha下的小概率事件发生了。意味着应该拒绝H0,当P-值大于alpha时，因该接受H0。 Anoval 功能：单因素方差分析 格式：p = anova1(X) p = anova1(X,group) p = anova1(X,group,displayopt) [p,table] = anova1(...) [p,table,stats] = anova1(...) 说明：anova1(X)对样本X中的两列或多列数据进行均衡的单因素方差分析，函数返“零假设”成立的概率值。如果概率值接近于零，则零假设值的怀疑，拒绝H0。anova1(X,group)对样本X中由向量group索引的两组或多组数据进行单因素方差分析以比较个列的均值。group向量中值为整数，表示各个组别的观测值的个数。 算例，续例1 x=[1600,1610,1650,1680,170