数学分析（4版）-华东师范大学4-2.pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 由介值性条件不难证明： 闭区间上连续函数的性质 即 2. 如果解为空集, 任意取 定理4.8 证 不妨设 f (x) 严格增, 那么 就是反 上连续, 若函数 f (x) 在 上严格单调且连续, 则反函数 反函数的连续性 函数　　　　　的定义域. 1. (证明见定 理1.2 ). 反函数的连续性 且　　　与 f (x) 有相同的单调性. ③任给 2. (如图所示) ①每一 ②对应 ⑤取 ④对应 对于任意的正数 可类似地证明该函数在端点的连续性. 反函数的连续性 且严格增. 均可得到在定义域内连续的结论. 例6 因此它的反函数 上也是连续 严格增. 例7 连续且严 在　　　上亦为连续且 那么其反函数 反函数的连续性 关于其他反三角函数： 格增, 定义2 在本段中，我们将介绍一致连续性这个及其重要 只要　　　　　　就有 一致连续性 正数 存在 使得对任意 设 为定义在区间I上的函数, 如果对于任意的 则称 在区间I上一致连续. 的概念. 一致连续性 首先来看两个例题. 例8 证 一致连续性 证 首先我们根据一致连续的定义来叙述 f (x) 在 例9 但仍有 确实不是一致 连续的. 总存在 区间I上不一致连续的定义： 一致连续性 试问, 函数 在区间I上一致连续与 在区 间I上连续的区别究竟在哪里？ 一致连续性 仅与 有关. 对于任意正数? , 所得 答:(1) 首先, 对于 如果 在区间 I上连续， 那么, 不仅与? 有关, 而且还与所讨论的点 则 而 在区间I上一致连续. 显然 一致连续性 过程中有一个正下界(当然 (2) 函数 f (x) 在每一点 连续, 下述定理是连续函数在闭区间上的又一整体性质. 区间I上就一致连续了. 这个下界只与? 有关, 而与x0无关), 一致连续性 则此时 f (x)在 定理4.9 若函数 f (x) 在 [a ,b]上连续, 则 f (x) 在 [a, b]上 证 首先用致密性定理来证明该定理. 设 f (x) 在 [a, b] 上不一致连续, 一致连续. 过程中, 选子列的方法值得大家仔细探究. 这个定理告诉我们: 定义在闭区间上的函数, 连 续和一致连续是等价的. 即存在 对于 一致连续性 在下述证明 现分别取 …… 一致连续性 因为 {xn} 有界, 从而由致密性定理, 存在 {xn} 的 一致连续性 因为 所以由极限的不等式性质 连续, 以及 f 矛盾. 连续, 所以由归结原理得到 所以分别存在 当 当 则对于任意的 证 对任意的 因为 在 上一致 上一致连续, 在区间 上也一致连续. 证明：若 分别在 点也为 例10 设区间 的右端点为 , 区间 的左端 连续， 使得 一致连续性 有以下两种情形： 注意到 可得 综上，证得 在区间 上一致连续. 此时自然有 一致连续性 在区间 与区间 上分别一致连续, 区间 [1, 3] 上不连续, 当然也不一致连续. 注 例10的条件 是重要的. 比如 一致连续性 但在 例11 设 上连续, 并且 证明 上一致连续. 证 因为 , 所以对任意的正数 存在 又 上连续, 故由定理4.9可知 f (x) 上一致连续. 使对任意 因此对上述 ?, 存在正数 一致连续性 只要 , 必有 现对任何 讨论如下. 情形2. 注意到 所以若情形1 不成立, 必然有 于是 一致连续性 * * * * * * * * * * * * * * 数学分析 第四章 函数的连续性 高等教育出版社 §1 连续函数的性质 连续函数的局部性质 闭区间上连续函数的性质 反函数的连续性 一致连续性 数学分析 第四章 函数的连续性 高等教育出版社 §1 连续函数的性质 连续函数的局部性质 闭区间上连续函数的性质 反函数的连续性 一致连续性 复习思考题 数学分析 第四章 函数的连续性 高等教育出版社 一、连续函数的局部性质 在本节中,我们将介绍连续函数的局部性质与整体性质.熟练地掌握和运用这些性质是具有分析修养的重要标志. §1 连续函数的性质 数学分析 第四章 函数的连续性 二、闭区间上连续函数的 性质 三、反函数的连续性 四、一致连续性 *点击以上标题可直接前往对应内容 连续函数的局部性质