数学分析（4版）-华东师范大学5-2.pptVIP

基本求导法 则与公式 §2 求导法则 数学分析 第五章 导数和微分 高等教育出版社 导数的四则运算 反函数的导数 复合函数的导数 基本求导法 则与公式 §2 求导法则 数学分析 第五章 导数和微分 高等教育出版社 导数的四则运算 反函数的导数 复合函数的导数 基本求导法 则与公式 一、导数的四则运算 导数很有用，但全凭定义来计算导数是不方便的. 为此要建立一些有效的求导法则, 使导数运算变得较为简便. §2 求导法则 数学分析 第五章 导数和微分 二、反函数的导数 三、复合函数的导数 四、基本求导法则与公式 *点击以上标题可直接前往对应内容 定理5.6 定理5.5 导数的四则运算 在点 x0 也可导, 且 在点 x0 也可导, 且 若函数 在点 x0 可导, 则函数 若函数 在点 x0 可导, 则函数 后退 前进 目录 退出 §2 求导法则 导数的四则运算 推论 定理 5.6 可推广到任意有限个函数相乘的情形, 如 下面证明乘积公式 (2), 请读者自行证明公式 (1) . 证 (2) 按定义可得 若 u (x) 在点 x0 可导,c 是常数，则 导数的四则运算 × 注意: ,千万不要把导数乘积公式 (2) 记错了. 导数的四则运算 例1 解 因此, 对于多项式 f 而言, 总是比 f 低一个幂次. 例2 解 由公式 (2)，得 导数的四则运算 定理5.7 在点 x0 也可导，且 若函数 在点 x0 可导, 导数的四则运算 证 由于 在点 x0 可导, 因此 导数的四则运算 (5) 对 应用公式 (2) 和 (5), 得 导数的四则运算 例3 求下列函数的导数： 解 导数的四则运算 同理可得 同理可得 导数的四则运算 定理5.8 证 由假设, 在点 的某邻域内连续, 反函数的导数 则 在点 可导, 且 某邻域内连续，严格单调, 且 反函数的导数 设 为 的反函数，　在点 的 便可证得 注意到 且严格单调, 从而有 反函数的导数 解 上的反函数，故 反函数的导数 例4 求下列函数的导数： 同理有 的反函数，故 上 反函数的导数 定理5.9 在点 x0 可导，且 这个定理一般用有限增量公式来证明，但为了与 复合函数的导数 证法, 为此需要先证明一个引理. 今后学习向量函数相联系，这里采用另一种新的 复合函数的导数 引理 f 在点 x0 可导的充要条件是: 证 设 f (x) 在点 x0 可导, 且令 复合函数的导数 在 x0 的某邻 得 f (x) 在点 x0 可导, 根据极限 复合函数的导数 同理， 则存在一个在点 x0 于是当 有 由引理的必要性 且 连续的函数 下面证明定理 5.9 ( 公式 (7) ) . 知存在一 复合函数的导数 连续， 若将公式(7)改写为 理的充分性, 这样就容易理解 “链”的 复合函数求导公式 (7) 又称为 “链式法则”. 根据引 复合函数的导数 意义了. 且 在链式法则中一定要区分 例5 解 分解成 这两个 于是由链式法则, 有 基本初等函数的复合， 复合函数的导数 例6 解 复合而成, 复合函数的导数 解 运用复合求导法则, 分别计算如下: 复合函数的导数 例7 求下列函数的导数: 复合函数的导数 例8 求下列函数的导数: 解 复合函数的导数 所以 在 处不可导. 复合函数的导数 化某些连乘、连除式的求导. 对数求导法 均可导， 对数求导法不仅对幂指函数 有效,也能简 复合函数的导数 则 解 先对函数两边取对数, 得 再对上式两边求导, 又得 于是得到 例9 复合函数的导数 求导法则： 基本求导法则与公式 基本求导法 则与公式 基本初等函数的导数公式： 基本求导法 则与公式