数学分析（4版）-华东师范大学6-1.pptVIP

* * * * * * * * 推论 注 请读者写出相应于递减和严格递减的判别定理. 在实际应用中我们经常会用到下面这个事实. 作为应用，下面再举两个简单的例子. 函数单调性的判别 例8 求证 证 即 函数单调性的判别 例9 设 f (x) = x 3 － x. 讨论函数 f 的单调区间. 解 由于 因此 函数单调性的判别 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 -1.5 -1 -0.5 O 0.5 1 1.5 函数单调性的判别 使得 由此可知, [a, b] 上的连续函数 , 其最大值必在 证 令 F(x) = f (x)－ kx, 费马定理,只要证明 F(x) 在 (a, b) 上有极值点即可. 由于 根据 函数单调性的判别 则 F ￠(x) = f ￠(x) －k . 由费马定理得 定是极大值, 某一点 c ? (a, b) 处取得. 区间内取得的最大值一 即 推论 函数单调性的判别 定理6.5（达布定理） 是介 如果 f 在 [a, b] 上可导,且 之间的任一实数， 达布 ( Darboux,J.G. 1842-1917, 法国 ) 则至少存在 函数单调性的判别 的证明相比较. 罗尔定理证明的主要方法是什么? 试与达布定理 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 §1 拉格朗日定理和函数的单调性 罗尔定理与拉格朗日定理 函数单调性的判别 复习思考题 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 一、罗尔定理与拉格朗日定理 中值定理是联系 与 f 的桥梁.有了中值定理, 就可以根据 在区间上的性质来得到 f 在该区间上的整体性质. §1 拉格朗日定理和 函数的单调性 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 二、函数单调性的判别 *点击以上标题可直接前往对应内容 定理6.1（罗尔中值定理） 罗尔定理与拉格朗日定理 那么在开区间(a, b)内必定(至少)存在一点?, 使 (i) 在闭区间 [a, b] 上连续; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导; (iii) f(a) = f(b). 后退 前进 目录 退出 罗尔定理与拉格朗日定理 (1) 几何意义 据右图, 平的. 一点处的切线也是水 看出, 曲线上至少有 由几何直观可以 所以线段 AB 是水平 因为 f (a) = f (b), 的. 罗尔定理与拉格朗日定理 (2) 条件分析 定理中的三个条件都很重要，缺少一个,结论不 在 [0, 1] 上满足条件 (ii) 和 一定成立. 数在 (0, 1) 上的导数恒为1. 但条件 (i) 不满足,该函 (iii), 罗尔定理与拉格朗日定理 结论不成立. 满足条件 (i) 和 (iii), 条件 (i) 和 (ii), 满足 处不可导), (ii) 却遭到破坏 ( f 在 x = 0 内的导数恒为1. 却遭到破坏, 但条件 结论也不成立. 但条件 (iii) 该函数在 (0, 1) 罗尔定理与拉格朗日定理 结论也不成立. -1 O 1 2 1 2 3 4 条件都不满足, f ?(0)=0. 理的三个条件是充分 条件, 而不是必要条件. 却仍有 这说明罗尔定 罗尔定理与拉格朗日定理 下面证明定理 因为 f (x) 在 [a, b] 上连续, 小值 m . f (x) 在 [a, b] 上能取得最大值 M 和最 所以由连续函数的最大、 最小值定理, 下面分两种情形加以讨论. 情形1 M = m. f ?(?) = 0 . 此时可在 (a, b) 内随意取一点 ? , 就有 此时 f (x) 恒为常数,它的导函数恒 等于零, 罗尔定理与拉格朗日定理 情形2 m M. 使得 大值不在端点取到, 值与最小值至少有一个不在端点取到. 既然最大、最小值不等, 从而最大 不妨设最 故存在 因为在区间内部取到的最大值一定是极大值, 所以 由费马定理,得 这与条件矛盾. 例1 设 p(x) 是一个多项式, 且方程 p(x) = 0 没有实 证 重数为 1 . 根, 则方程 p(x) = 0 至多有一个实根，且这个根的 罗尔定理与拉格朗日定理 矛盾. 定理6.2（拉格朗日中值定理） 设函数 f (x) 满足： (i) f (x) 在闭区间 [a, b] 上连续; (ii) f (x) 在开区间 (a, b) 内可导. 那么在开区间 内 ( 至少 ) 存在一点 , 使得 可见，罗尔定理