数学分析（4版）-华东师范大学6-4.pptVIP

* 解 设每件定价为 p，购进 x 件( 应该全部卖完 ), 问每件定价多少和从工厂购进多少时才能获得最 大利润. 则利润为　　　　　　 由条件 p 与 x 的关系为 最大值与最小值 例8 设某商店每天向工厂按出厂价每件3元购进一 为 400 件. 若零售价每降低 0.05元, 可多售 40 件, 批商品零售. 若零售价定为每件 4 元, 估计销售量 结论： (1) 定价为 3.75 元 / 件时可获最大利润 450 元; (2) 应从工厂购进 L(3.75)=450(元) 是极大值. 区间上仅有一个极值，所以 L(3.75) 就是最大值. 因为 L(p) 在所讨论的 最大值与最小值 1. 若 f (x) 在 x0 取极大值，是否可断定在 x0 充分 2. 若 f(x) 在区间 I 上连续，且仅有惟一的极值点 考察例子: 小邻域内, f (x) 在 x0 的左侧递增，右侧递减？试 必为 I 上的最大(小)值？ x0 . 试问当 f (x0) 为极大(小) 值时，为什么 f (x0) * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * §4 函数的极值与最大（小）值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 极值判别 最大值与最小值 复习思考题 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 高等教育出版社 一、极值判别 极大(小)值是局部的最大(小)值它有着很明显的几何特征. 在本节中,我们将逐一研究函数的这些几何特征. §4 函数的极值与最大（小） 值 数学分析 第六章 微分中值定理及其应用 二、最大值与最小值 *点击以上标题可直接前往对应内容 费马定理告诉我们，可微函数的极值点一定是稳 极值判别 我们在这里再次强调：费马定理是在函数可微的 定是水平的. 定点. 也就是说, 在曲线上相应的点处的切线一 条件，费马定理的结论　　　 　就无从说起. 条件下建立的. 后退 前进 目录 退出 §4 函数的极值与最大（小）值 极值判别 换句话说，若没有可微这个前提 当然，费马定理的逆命题亦不真. 下面给出极值的充分条件. 极值点. 的可微函数 例如对于任意 极值判别 定理6.11（极值的第一充分条件） 设函数 f (x) 在 极值判别 证 根据导函数的符号判别函数单调性的方法, 可以 的证明. 知道该定理的几何意义十分明显. 在这里仅给出 (i) 于是 极值判别 定理6.12（极值的第二充分条件） 设 f (x) 在点 x0 极值判别 所以由保号性， 由极值判别的第一充分条件得知: x0 是极小值点 . 极值判别 证 同样我们仅证(i). 因为 例1 解 由 求得稳定点 极值判别 所以 (参见右图) 4 2 4 极值判别 例2 解 稳定点为 x = 0 ，没有不可导点. 极值判别 为了更好地加以判别，我们列表如下： 不存在 增 增 减 即 是极小值. 极值判别 不存在 增 减 极小值 增 即 极值判别 请读者自行讨论. -1 1 -2 -1 1 (1) -1 -1 1 O 1 (2) 极值判别 解 由定理6.11, x = 6是极小值点, f(6)=108是极小值. 试问这里为什么不考虑不可导点 x = 0? 例 3 . 极值判别 定理6.13（极值的第三充分条件） 对于　　　　　　　　　 的情形, 可借助于更高 阶的导数来判别. (ii) n 为奇数时, 不是极值点 . 极值判别 设 f 在点 x0 的某邻域内存在直到 证 由泰勒公式, 有 其中 内恒与 同号. 极值判别 它在某邻域 这就说明 了 不是极值点. 极值判别 例 4 所以由第二判别法, 解 求得极小值为 极值判别 而对于稳定点 却无法知道结果, 我们尝试 用第三充分条件来进行判别. 因此 x = 1 不是极值点( n = 3 是奇数 ). ( n = 4是偶数 ). 极值判别 由于 又因 注 第三充分条件并不是万能的. 所以无法用定理 6.12 来判别. 例如 x = 0 是 极值判别 最大值与最小值 由连续函数的性质, 若 f (x) 在 [a, b] 上连续, 那 只可能在极值点、区间端点和不可导点之中取得. 一定是极大(小)值. 区间内部(不是端点)取得最大(小)值, 那么这个值 因为极大(小)值是局部的最大(小)值, 故若函数在 值提供了强有力的保证. 么一定有最大、