数学分析（4版）-华东师范大学7-2.pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 *§2 上极限和下极限 上（下）极限的基本概念 上（下）极限的基本性质 复习思考题 数学分析 第七章 实数的完备性 高等教育出版社 一、上（下）极限的基本概念 数列的上极限与下极限是非常有用的概念,通过它们可得出数列极限存在的另一个充要条件.在下册第十二、十四章讨论级数收敛性时,常会遇到所考虑的某些数列不存在极限的情形,那时需要用上极限或下极限来解决问题.此外,对于不少后继课程来说,上(下)极限也是不可缺少的工具. *§2 上极限和下极限 数学分析 第七章 实数的完备性 二、上（下）极限的基本性质 *点击以上标题可直接前往对应内容 定义1 上(下)极限的基本概念 注 点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于: 若数列 满足: 在数 的任何一个邻域内均 含有 中的无限多项, 则称 x0 是数列 的 常数列 只有一个聚点: a . 的一个聚点. 限多个项”. 前者要求 “含有无限多个点”, 后者要求 “含有无 现举例如下: 后退 前进 目录 退出 上（下）极限的基本概念 定理7.4 有界数列至少存在一个聚点, 并且有最大聚点和 但作为数列来说, 它却有两个聚点: 有五个聚点: 数列 从数列聚点的定义不难看出, x0 是数列 的聚 作为点集来说它仅有两个点, 点的一个充要条件是: 最小聚点. 故没有聚点; 上（下）极限的基本概念 存在 的一个子列 又设 由于 E 非空有界, 故由确界原理, 下面证明 是 { xn } 的最大聚点, 亦即 证 设 为有界数列, 的一个聚点. 于是 首先, 由上确界的性质, 由致密性定理, 存在一个 收敛子列 使 存在 上（下）极限的基本概念 存在 因为 是 的聚点, 所以对任意正数 在区间 存在 使 存在 使 存在 使 上（下）极限的基本概念 的无限多项. 现依次令 这样就得到了 { xn } 的一个子列　　　满足: 同理可证 即证得 定义2 称为 的上、下极限, 记为 上（下）极限的基本概念 有界数列 的最大聚点 与最小聚点 分别 注 由定理 7.4 得知, 有界数列必有上、下极限. 提供了一个新的平台. 的上、下极限总是存在的, 这为研究数列的性质 极限来研究该数列往往是徒劳的; 数列若有界, 它的极限可以不存在, 此时想通过 这样, 上、下极限的优越性就显现出来了: 但是有界数列 一个 例1 考察以下两个数列的上、下极限: 从中可大致看出数列的极限和数列的上、下极限 之间存在着的内在联系. 详细讨论请见下文. 上（下）极限的基本概念 定理7.6 定理7.5 上(下)极限的基本性质 由上、下极限的定义, 立即得出: 对任何有界数列 有 下面这个定理刻画了极限与上、下极限之间的关系. 有界数列 存在极限的充要条件是: (1) (2) 上（下）极限的基本性质 证 设 对于任意正数 在 这样, 对任意的 只有有限项. 那么在 内( 此时必 取 反之, 若上式成立, 则 的聚点唯一 (设为 A) , 若 这就是说, B 从而 的聚点, 不是 故 仅有一个聚点 A, 有限项. 之外 只有 上（下）极限的基本性质 一的假设相矛盾. 另一聚点, 导致与聚点唯 性定理, 这无限多项必有 的无限多项. 之外含有 使得在 倘若不然,则存在 此时易证 由致密 上（下）极限的基本性质 定理7.7 设 为有界数列, 则有 的充要条件是: 对于任意的 (i) 存在 N, 当 n N 时, 的充要条件是: 对于任意的 (i) 存在 N, 当 n N 时, 证 在形式上是对称的, 所以仅证明 . 上（下）极限的基本性质 必要性 设 因为 A 是 的一个聚点, 所以存在 使得 故对于任 意的 当 k K 时， 将 中的前面 K 项剔除, 这样就证明了(ii). 上, 至多只含 的有限项. 话, 因为 有界, 这与 A 是最大聚点相矛盾. 又因 A 是 的最大聚点, 所以对上述 e , 存在 在区间 不然的 在 故 上 还有聚点, 上（下）极限的基本性质 设这有限项的最大下标为 N, 那么当 n N 时, 充分性 任给 综合 (i) 和 (ii), 上含有