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数学分析 第二十二章 曲面积分 高等教育出版社 数学分析 第二十二章 曲面积分 高等教育出版社 数学分析 第二十二章 曲面积分 高等教育出版社 数学分析 第二十二章 曲面积分 高等教育出版社 一、高斯公式 二、斯托克斯公式 高斯公式与斯托克斯公式都是格林公式的推广. 格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系; §3 高斯公式与 斯托克斯公式 数学分析 第二十二章 曲面积分 *点击以上标题可直接前往对应内容 高斯公式建立了空间区域上的三重积分与其边界曲面上的第二型曲面积分之间的关系; 斯托克斯公式建立了空间曲面上的第二型曲面积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系. 定理22.3 设空间区域 由分片光滑的双侧封闭曲面 S 围成. 上连续, 若函数 P, Q, R 在 其中 S 取外侧.(1) 式称为高斯公式. §3 高斯公式与斯托克斯公式 高斯公式 斯托克斯公式 高斯公式 后退 前进 目录 退出 则 且有一阶连续偏导数, 证 下面只证 这些结果相加便得到高斯公式 (1). 先设V是一个 xy 型区域, 即其边界曲面 S 由曲面 证明其余两式: 读者可类似 §3 高斯公式与斯托克斯公式 高斯公式 斯托克斯公式 及垂直于 的柱面 组成(图22-7), 于是按三重积分的计算方 法,有 §3 高斯公式与斯托克斯公式 高斯公式 斯托克斯公式 其中 其中 都取上侧. 积为零, §3 高斯公式与斯托克斯公式 高斯公式 斯托克斯公式 平面上投影面 又由于 所以 从而得到 对于不是 xy 型区域的情形, 一般可用有限个光滑 曲面将它分割成若干个 xy 型区域来讨论. §3 高斯公式与斯托克斯公式 高斯公式 斯托克斯公式 例1 计算 其中 S 是边长为 a 的正立方体表面并取外侧. 解 应用高斯公式, §3 高斯公式与斯托克斯公式 高斯公式 斯托克斯公式 注 若在高斯公式中 则有 于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域 V 的体 积的公式: §3 高斯公式与斯托克斯公式 高斯公式 斯托克斯公式 解 由于曲面不是封闭的, 不能直接应用高斯公式. 为了能使用高斯公式以方便计算, 可补一块平面 并取下侧, 闭曲面. 于是 §3 高斯公式与斯托克斯公式 高斯公式 斯托克斯公式 例2 计算 其中 为曲面 上 的部分, 并取 上侧. 构成一封 则 而 因此 §3 高斯公式与斯托克斯公式 高斯公式 斯托克斯公式 证 以 为球心作一半径充分小的球面 使 全部 落在 所包含的区域内部, 并将坐标原点取在 处. 由电学知识,在点 处的电场强度为 §3 高斯公式与斯托克斯公式 高斯公式 斯托克斯公式 例3 证明电学中的高斯定理: 在由点电荷 所产生的 静电场中, 电场强度 向外穿过任何包含 在其内 部的光滑封闭曲面 的电通量都等于 所以穿过 的电通量为 其中 取外侧, 是 包围的半径为 的球体. §3 高斯公式与斯托克斯公式 高斯公式 斯托克斯公式 其中 易验证(参见图22-8 ) 设 所以穿过 的电通量为 §3 高斯公式与斯托克斯公式 高斯公式 斯托克斯公式 在 与 所围的空间区域 上应用高斯公式, 界的外测是 的外侧和 的内侧. 其边 因为 先对双侧曲面 S 的侧与其边界曲线 L 的方向作如下 设有人站在 S 上指定的一侧, 若沿 L 行走, 指 定的侧总在人的左方, 若沿 L 行走, 指定的侧总在人的右方, 则人 前进的方向为边界线 L 的负向. 手法则, 如图 22-9 所示. 斯托克斯公式 规定: 的正向; §3 高斯公式与斯托克斯公式 高斯公式 斯托克斯公式 则人前进的方向为边界线 L 这个规定也称为右 定理22.4 设光滑曲面 S 的边界 L 是按段光滑的连续曲线. 函数 P, Q, R 在 S ( 连同 L ) 上连续, 且有一阶连续 偏导数, §3 高斯公式与斯托克斯公式 高斯公式 斯托克斯公式 其中 S 的侧与 L 的方向按右手法则确定. 若 则有斯托克斯公式如下: 证 先证 其中曲面 S 由方程 确定, (3) §3 高斯公式与斯托克斯公式 高斯公式 斯托克斯公式 向数为 方向余弦