中国石油大学自控原理第2章.pptx

自动控制原理 ——第二章系统数学模型 §专业基础课§ 邓晓刚 信息与控制工程学院自动化系 第二章 控制系统的数学模型 2-1 引言 2-2 微分方程（时域模型） 2-3 传递函数（复域模型） 2-4 结构图和信号流图（图形描述） 2-5 小结 §2-1 引言 1.数学模型的概念 描述系统内部变量之间关系的表达式，自控系统分析与设计的基础。 2.数学模型的研究意义 能够比定性分析更加精细准确，从理论上对系统的性能进行定量的分析和计算。 许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示。以一个模型分析一类系统。 3.数学模型的种类 静态模型：静态条件下各变量之间的关系 动态模型：描述变量各阶导数关系的微分方程 4.数学模型的建立方法 分析法（白箱模型） 对系统各部分的运动机理进行分析，根据物理、化学规律列写相应的运动方程，如基尔霍夫定律、牛顿定律、热力学关系等等 实验法（黑箱模型） 人为给系统施加某种测试信号，记录其响应，并用恰当的数学模型进行逼近，形成一个独立学科：系统辨识 综合法（灰箱模型） 但实际上有的系统还是了解一部分的，可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立系统的数学模型。 实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化 但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型变的不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过于复杂。 数学模型的形式 时域（t） ： 微分方程 复域（s）： 传递函数 频域（w）：频率特性 §2-2 控制系统时域模型 1.微分方程的建立 【例1】RLC电路如下图，分析输入电压ur(t)作用下电容上电压uc(t)的变化。 依据电学中的基尔霍夫定律 (2)式两边求导得到 整理成规范形式 (1) 结合式(1)和(3) 或者写成 【例2】建立下面机械平移系统的数学模型 求在外力F(t)作用下，物体的运动轨迹。 首先：确定输入F(t),输出x(t) 其次：理论依据 1.牛顿第二定律 2.牛顿第三定律 k F(t) x(t)位移 阻尼系数f 阻尼器 弹簧 m F1(t) F2(t) 机械平移系统的微分方程为： 注意：写微分方程时，常习惯于把输出写在方程的左边，输入写在方程右边，而且微分的次数由高到低排列 。 微分方程数学模型的标准形式 这两个式子很相似，故可用电子线路来模拟机械平移系统，这也证明了我们前面讲到的，看似完全不同的系统，具有相同的运动规律，可用相同的数学模型来描述。（相似系统） 讨论： 微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运动，必须列写系统的微分方程。 列写微分方程的基本步骤： 1) 确定系统的输入量和输出量 2) 将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节的线性化原始方程。 3) 消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式，并且化为标准形式。 【例3】 求电枢控制直流电动机的微分方程。 电枢电压ua(t)作为输入量，电机转速ωm(t)作为输出量. Ra La 分别是电枢电路的电阻和电感；Mc是折合到电动机轴上的总负载转矩。 注：电能转化为机械能 (1) 根据基尔霍夫定律，电枢绕组的电压平衡方程式为 Ce是反电势系数（伏/（弧度/秒）） 通常La很小，可以忽略不计 其中 ① 为转矩系数（牛·米/安） (2) 电磁转矩 Mm与电枢电流成正比： Jm：转动惯量；fm: 粘性摩擦系数 ② ③ 电枢回路电压关系 电能与机械能的转换 机械能中的转矩平衡 消去中间变量 所以直流电机的运动方程为 直流电动机的时间常数 直流电动机的传递系数 进一步整理 【例4】求下图所示运算放大器的数学模型。 Rf是反馈电阻，if是反馈电流， Ri是输入电阻，ur和ir是输入电压和电流， uc是输出电压, i0是进入放大器的电流。 “虚地”: uε≈ 0 放大器具有高增益k=105~109,而通常uc小于10伏，因为uε=-uc/k,所以运算放大器的输入电压uε近似等于0 “虚断”: i0 ≈ 0 运算放大器的输入阻抗很高，流入放大器的电流i0也近似等于0。 “虚断”: i0 ≈ 0 ir=if 运算放大器的数学模型为 “虚地”: uε≈ 0 【例】求下图所示运算放大器的数学模型 【例5】 试列写速度控制系统的微分方程 2. 控制系统的微分方程 （1）系统输入变量ui，输出变量w （2）绘制系统