中考数学综合题专题训练【以三角形为基础的综合题四】专题解析.doc

中考数学综合题专题训练【以三角形为基础的综合题四】专题解析 1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC． （1）如图1，当∠APB＝90°时， ①求证：PC平分∠ACB；②若PC＝6，求BC的长； （2）如图2，当∠APB＝60°，PC＝5 时，求BC的长． （1）①证明：过点P分别作AC、BC的垂线，垂足为E、F 则四边形ECFP是矩形，∠EPF＝90° ∵∠APB＝90°，∴∠EPA＝∠FPB＝90°－∠APF 又PA＝PB，∠PEA＝∠PFB＝90°，∴△PEA≌△PFB ∴PE＝PF，∴矩形ECFP是正方形 ∴PC平分∠ACB ②解：延长CB至D，使BD＝AC＝5，连接PD ∵在四边形ACBP中，∠ACB＝∠APB＝90° ∴∠PAC＋∠PBC＝180° ∵∠PBD＋∠PBC＝180°，∴∠PAC＝∠PBD 又PA＝PB，AC＝BD，∴△PAC≌△PBD ∴PC＝PD，∠APC＝∠BPD ∵∠APC＋∠BPC＝90°，∴∠BPD＋∠BPC＝90° 即∠CPD＝90°，∴△PCD是等腰直角三角形 ∴CD＝PC＝12 ∴BC＝CD－BD＝12－5＝7 （2）以AC为边向外作等边三角形ACD，作DE⊥BC于E，连接DB 则DE＝ AC＝ ，CE＝ AC＝ ∵PA＝PB，∠APB＝60°，∴△PAB是等边三角形 ∴AB＝AP，∠BAP＝60°＝∠DAC，∴∠DAB＝∠CAP 又AD＝AC，∴△ADB≌△ACP ∴BD＝PC＝5 在Rt△BDE中，由勾股定理得： ( )2＋( ＋BC )2＝( 5)2，解得BC＝ (－) 2．在平面直角坐标系中，已知点A（5，0），点B在第一象限，且AB与直线l：y＝ x平行，AB长为8，若点P是直线l上的动点，求△PAB的内切圆面积的最大值． 解：∵AB∥直线l，点P在直线l上 ∴△PAB的面积S△PAB是定值 设△PAB的内切圆的半径为r，则S＝ PA·r＋ PB·r＋ AB·r ∴r＝ ∵AB长为8，是定值，∴当PA＋PB最小时，r最大，从而内切圆面积最大 作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′ 交直线l于点P，连接PB，则PA＋PB最小 此时PA＋PB＝PA＋PB′＝AB′ ∵点B和点B′ 关于直线l对称 ∴直线l垂直平分线段BB′ ∵AB∥直线l，∴AB⊥BB′ ∴△ABB′ 是直角三角形且∠ABB′＝90° 作AM⊥直线l于M，作MN⊥OA于N，设M（m， m） 则ON＝m，MN＝ m，OM＝ m 由△OAM∽△OMN，得 ＝ ＝ ∴AM＝ OA＝ ×5＝3，∴BB′＝2AM＝6 又AB＝8，∴AB′＝10 ∴r＝ ＝ ＝ ＝ ∴△PAB的内切圆面积的最大值是：π×( )2＝ π 3．已知△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4．过点C作直线l∥AB．点D在线段BC上，点E在直线l上．若∠ADE＝120°，CE＝1，求DC的长． 解：①当点E在点C上方时，如图1 在AC上取点F，使DF＝DC，连接DF ∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝30° ∴∠DFC＝∠DCF＝30° ∴∠FDC＝120°，∠DFA＝150° ∵CE∥AB，∴∠ACE＝∠BAC＝120° ∴∠DCE＝150°，∴∠DFA＝∠DCE ∵∠ADE＝∠FDC＝120° ∴∠ADF＝∠EDC＝120°－∠FDE 在△ADF和△EDC中 ∠ADF＝∠EDC，DF＝DC，∠DFA＝∠DCE ∴△ADF≌△EDC，∴AF＝CE＝1 ∴FC＝AC－AF＝4－1＝3 过D作DG⊥AC于G，则GC＝ FC＝ ∴DC＝ ＝ ②当点E在点C下方时 i）情形1，如图2 在CA延长线上取点F，使DF＝DC，连接DF 则∠F＝∠DCF＝∠DCE＝30°，∴∠FDC＝120° 又∵∠ADE＝120°，∴∠ADF＝∠EDC＝120°－∠ADC ∴△ADF≌△EDC，∴AF＝CE＝1 ∴FC＝AC＋AF＝4＋1＝5 ，∴DC＝ ii）情形2，如图3 过D作DF⊥AC于F，过E作EG⊥BC于G 则∠BDF＝90°＋30°＝120° 又∵∠ADE＝120°，∴∠ADF＝∠EDG＝120°－∠ADB ∴△ADF≌△EDG，∴ ＝ 设DC＝x，则DG＝ －x ∴ ＝ 解得x1＝ ＞4（舍去），x2＝ 综上所述，DC的长为 或 或 4．如图1是边长分别为4 和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′ 叠放在一起（C与C′ 重合），固定△ABC，将△C′D′E′ 绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE，CE的延长线交AB于F（如图2）． （1）探究线段BE与AD之间的大小关系，并证明你的结论；