代数系统1use.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 同类型与同种代数系统 定义5.2.2 (1) 如果两个代数系统中运算的个数相同，对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同，则称它们是同类型的代数系统. (2) 如果两个同类型的代数系统规定的运算性质也相同，则称为同种的代数系统. 例如 V1=R, +, ·, 0, 1, V2=Mn(R), +, ·, ?, E, ?为 n 阶全0 矩阵，E为 n 阶单位矩阵, V3=P(B), ∪, ∩, ?, B V1, V2, V3是同类型的代数系统，它们都含有2个二元运算, 2个代数常数. V1, V2是同种的代数系统，V1, V2与V3不是同种的代数系统 * V1 V2 V3 + 可交换、可结合 · 可交换、可结合 + 满足消去律 · 满足消去律 · 对 + 可分配 + 对 · 不可分配 + 与 · 没有吸收律 + 可交换、可结合 · 可交换、可结合 + 满足消去律 · 不满足消去律 · 对 + 可分配 + 对 · 不可分配 + 与 · 没有吸收律 ∪可交换、可结合 ∩可交换、可结合 ∪不满足消去律 ∩不满足消去律 ∩对∪可分配 ∪对∩可分配 ∪与∩满足吸收律 运算性质比较 * 子代数系统 定义5.2.4设V=S, f1, f2, …, fk是代数系统，B是S的非空子 集，如果B对f1, f2, …, fk 都是封闭的，则称B, f1, f2, …, fk是V的子代数系统，简称子代数. 有时将子代数系统简记为B. 实例 N是Z,＋的子代数，N也是Z,＋,0的子代数 N?{0}是Z,＋的子代数，但不是Z,＋,0的子代数 说明： 子代数和原代数是同种的代数系统 对于任何代数系统V=S, f1, f2, …, fk，其子代数`. * 关于子代数的术语 例 设V=Z,+,0,令 nZ={nz | z?Z},n为自然数，则nZ是V的子 代数 当n=1和0时，nZ是V的平凡的子代数，其他的都是V的非 平凡的真子代数. (1) 最大的子代数：就是V本身 (2) 最小的子代数：如果令V中所有代数常数构成的集合是 B，且B对V中所有的运算都是封闭的，则B就构成了V的 最小的子代数 (3) 最大和最小的子代数称为V 的平凡的子代数 (4) 若B是S的真子集，则B构成的子代数称为V的真子代数. * 积代数 定义 设V1=A,?和V2=B,?是同类型的代数系统，?和? 为二元运算，在集合A?B上如下定义二元运算?， ?a1,b1,a2,b2?A?B，有 a1,b1?a2,b2=a1?a2, b1?b2 称V=A?B,? 为V1与V2的积代数，记作V1?V2. 这时也称V1和 V2为V的因子代数. 实例 Z2={0,1}，V=Z2,? ， V1?V2=Z2?Z2,? Z2?Z2={0,0, 1,0, 0,1, 1,1} 0,1 ? 1,0=0,0 注意：积代数的定义可以推广到具有多个运算的同类型的代 数系统 * 积代数的性质 定理 设V1=A,?和V2=B,?是同类型的代数系统， V1?V2=A?B,?是它们的积代数. (1) 如果? 和 ?运算是可交换（可结合、幂等）的，那么?运算也是可交换（可结合、幂等）的 (2) 如果 e1 和 e2（?1和?2）分别为? 和 ?运算的单位元（零元），那么e1,e2（?1,?2）也是?运算的单位元（零元） (3) 如果 x 和 y 分别为?和 ?运算的可逆元素，那么x,y也是?运算的可逆元素，其逆元就是x?1,y?1 * 基本要求 判断给定集合和运算能否构成代数系统 判断给定二元运算的性质 求而二元运算的特异元素 了解同类型和同种代数系统的概念 了解子代数的基本概念 * * 5.3 代数系统的同态与同构(略) 定义5.3.1 设V1=A,°和V2=B,?是同类型的代数系统， f:A?B，且?x, y?A 有 f(x°y) = f(x)?f(y), 则称 f 是V1到V2的 同态映射，简称同态.　 同态分类： (1) f 如果是单射，则称为单同态 (2) 如果是满射，则称为满同态，这时称V2是V1的同态像， 记作V1?V2 (3) 如果是双射，则称为同构，也称代数系统V1同构于V2， 记作V1?V2 (4) 如果V1=V2，则称作自同态 * 实例 (1) 设V1=Z,+, V2=Zn,?．其中Z为整数集，+为普通加法；Zn={0,1,…,n?1}，?为模n加. 令