全国版2017版高考数学一轮复习第七章立体几何7.7.1利用空间向量证明空间中的位置关系课件理.ppt

【加固训练】 1.如图在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四边形,E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C1的中点.用向量方法证明平面EFG∥平面AB1C. 【证明】设 可知 因为 无公共点，所以EG∥AC， 因为AC?平面AB1C，所以EG ? 平面AB1C. 所以EG∥平面AB1C. 又因为 =a+c， 因为 无公共点，所以FG∥AB1， 因为AB1?平面AB1C，所以FG∥平面AB1C. 又因为FG∩EG=G，所以平面EFG∥平面AB1C. 2.如图所示,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点. 求证:PB∥平面EFG. 【证明】因为平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形, 所以AB,AP,AD两两垂直,以A为坐标原点, 建立如图所示的空间 直角坐标系Axyz, 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2), E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0). =(2,0,-2), ＝(0,－1,0)， ＝(1,1，－1)， 设 即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)， 所以 解得s＝t＝2.所以 又因为 与 不共线，所以 与 共面． 因为PB?平面EFG，所以PB∥平面EFG. 考向二　利用空间向量证明垂直问题 【典例2】(2016·开封模拟)如图,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD为等边三角形,AD=DE=2AB. 求证:平面BCE⊥平面CDE. 【解题导引】以点A为坐标原点建立空间直角坐标系,分别求出平面BCE与平面CDE的法向量,根据法向量垂直来证明面面垂直. 【规范解答】设AD=DE=2AB=2a,建立如图所示的空间直 角坐标系Axyz,则A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a), D(a, a,0),E(a, a,2a). 所以 =(a, a,a), =(2a,0,-a), =(-a, a,0), =(0,0,-2a). 设平面BCE的法向量为n1=(x1,y1,z1), 【母题变式】 1.若本例中条件不变,点F是CE的中点,证明DF⊥平面BCE. 【证明】 2.若本例中条件不变,点M是CD的中点,证明AM∥平面BCE. 【证明】 【规律方法】利用向量法证垂直问题的类型及常用方法 线线垂直问题 证明两直线所在的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零 线面垂直问题 直线的方向向量与平面的法向量共线,或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直 面面垂直问题 两个平面的法向量垂直,或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直 【变式训练】(2016·承德模拟)如图,在三棱锥P-ABC 中,AB=AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段 AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2. (1)证明:AP⊥BC. (2)若点M是线段AP上一点, 且AM=3.试证明平面AMC⊥平面BMC. 【解析】如图所示,以O为坐标原点,以射线OP为z轴的正半轴,以射线OD为y轴正半轴建立空间直角坐标系. (1)O(0,0,0),A(0,-3,0), B(4,2,0),C(-4,2,0), P(0,0,4). 于是 =(0,3,4), =(-8,0,0), 所以 =(0,3,4)·(-8,0,0)=0, 所以 ,即AP⊥BC. (2)由(1)知AP=5, 又AM=3,且点M在线段AP上, 又根据(1)的结论知AP⊥BC,BC∩BM=B, 所以AP⊥平面BMC,于是AM⊥平面BMC. 又AM?平面AMC,故平面AMC⊥平面BCM. 【加固训练】 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2BC,E,F,E1分别是棱AA1,BB1,A1B1的中点.(1)求证:CE∥平面C1E1F.(2)求证:平面C1E1F⊥平面CEF. 【证明】以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴, y轴,z轴建立空间直角坐标系,设BC=1,则C(0,1,0),E(1,0,1),C1(0,1,2),F(1,1,1),E1 (1)设平面C1E1F的法向量为n=(x,y,z).因为  =(-1,0,1), 所以 令x=1,得n=(1,2,1). 因为 =(1,-1,1), n· =1-2+1=0,所以 ⊥n. 又因为CE?平面C1E1F, 所以CE∥平面C1E1F. 即 (2)设平面EFC的法向量为m=(a,b,