分离变量法二.ppt

8.1.2 直角坐标系分离变量例题分析 　　　上面我们已经分析的是两个边界点均为第一类齐次边界条件的定解问题．下面讨论的是既有第一类，也有第二类齐次边界条件的定解问题、均为第二类齐次边界条件的定解问题，注意到本征值和本征函数的区别． 【解】用分离变量法求解. 令 代入（8.2.1），得本征值问题 及 待定常数和由边界条件（8.2.4）确定，即有 只能得到无意义的解 ，应该排出． (2) 若  由（8.2.4）得 注意到 可以是任意常数．条件 系数B可以在求通解时考虑进去，故此将系数认为是归一化的 . 由 系数由定解条件确定 傅里叶展开式系数可确定为 例8.2.2 解下列两端自由棒的自由纵振动定解问题： 鱼群探测换能器件或磁致伸缩换能器的核心 是两端自由的均匀杆，它作纵振动．即下列 定解问题 【解】按照分离变量法的步骤，先设出变量分离形式的试探解 U(x,t)=X(x)T(t) 求解（8.2.13）～（8.2.14）本征值问题，对 代入（7）得到 故可取归一化的本征函数 由于 ，所以 于是 相应的（归一化的）本征函数是 从上面的讨论我们可以将本征值 和对应的本征函数统一为 其对应的解为 其中 注意到上式正是傅里叶余弦级数的基本函数族． 所有本征振动的叠加得到通解 把右边的函数 后比较两边的系数，得到 求解稳定场问题的定解问题 将上式代入 拉普拉斯方程，并整理,有 以关于x的常微分方程为例,确定解的形式 拉普拉斯方程经过分离变量后变成了三个很容易求解的常微分方程。 几种常用的本征值问题 8.2 二维极坐标系下拉普拉斯方程分离变量 带电的云与大地之间的静电场近似是匀强静电场,其电场强度 是竖直的，方向向下．水 平架设的输电线处于这个静电场之 中，输电线是导体圆柱，柱面由于静 电感应出现感应电荷，圆柱邻近的静 电场也就不再是匀强的了，如图8.2所 示．不过离圆柱“无远限远”处的静 电场仍保持为匀强的．现在研究导体 圆柱怎样改变了匀强静电场,求出柱外 的电势分布． 解题分析：首先需要把这个物理问题表示为定解问题．取圆柱的轴为Z轴．如果圆柱“无限长”，那么，这个静电场的电场强度、电势显然与Z坐标无关，我们只需在XY 平面上加以研究就行了．图8.2画出了XY 平面上的静电场分布，圆柱面在 XY平面的剖口是圆 柱外的空间中没有电荷，所以电势 （在圆柱外） 在“无限远”处的静电场仍然保持为匀强的 因而还有一个非齐次的边界条件 【解】以变量分离形式的试探解 上式左边是 这就分解为两个常微分方程 其中 : 是圆柱的半径． 满足二维的拉 普拉斯方程 导体中的电荷既然不再移动，这说明导体中各处电势相同． 又因为电势只具有相对的意义，完全可以把导体的电势 当作零，从而写出边界条件 （8.2.1） 由于选取了 轴平行于 ，所以在无限远处， （8.2.2） 于是定解问题可以描述为 x2+y2a2 （8.2.3） 代入拉普拉斯方程, 得 的函数，与 无关；右边是 的函数， 与 无关．两边只能取同一个常数 。 * * 例8.2 .1 分析定解问题： (8.2.1) u(x,t)=X(x)T(t) ( 8.2.2) 对本征值问题（8.2.3）、（8.2.4）讨论： （ 1）若 ，则方程（8.2.3）的解为 （8.2.3） （8.2.4） （8.2.5） （8.2.3） （8.2.4） （8.2.5） （8.2.3） （8.2.4） ，则（8.2.3）的解为 ， 只能得到无意义的解 ，应该排出。 （3）若 ，则方程的解是 由（8.2.4）则 且要得到非零解，只有 ．在 条件下， ，即 故得到本征值为 相应的本征函数是 将 代入（8.2.5）解得 叠加得 (8.2.6) (8.2.7) (8.2.8) (8.2.9) （8.2.12） （8.2.10） 代入泛定方程及其次边界条件，得 （8.2.10） (8.2.11) 进行讨论： ,类同于前面的讨论，只能得到无意义的解； (2) 若 ，则方程（8.2.13）的解为 （8.2.13） 本征值问题： (8.2.14) ，于是得到 ，否则得到无意义的零解．由于通解中还另有待定系数， （3）若 ，方程(8.2.13)的解为 常数的确定，即 如果 则得无意义的解 ；因此 这是 情况下的本征值． 当 将本征函数值代入到T的方程得到 均为独立