初等模型02-2.ppt

§2.1 崖高的估算 方法一 最小二乘法 插值方法 例3 录像带还能录多长时间 例4（理想单摆的摆动周期） §2.7 赛艇成绩的比较(比例模型) §2.8 方桌问题 例5（最短路径问题） 最速方案问题 录像机上有一个四位计数器，一盘 180分钟 的录像带在开始计数时为 0000，到结束时计 数为1849，实际走时为185分20秒。我们从 0084观察到0147共用时间3分21秒。若录像 机目前的计数为1428，问是否还能录下一个 60分钟的节目？ r θ R l 由 得到 又 因和 得 积分得到 即 从而有 我们希望建立一个录像带已录像时 间t与计数器计 数n之间的函数关系。为建立一个正确的模型，首 先必须搞清哪些量是常量，哪些量是变量。首先，录像 带的厚 度W是常量，它被绕在一个半径 为r的园盘上，见图。磁带转动中线速 度v显然也是常数，否则图象声音必然会失真。此外，计数器的读 数n与转过的圈数有关，从而与转过的角 度θ成正比。 r θ R l 此式中的三个参数ω、v和r均不易精确测得，虽然我们可以从上式解出t与n的函数关系，但效果不佳，故令 则可将上式简化为： 故 令 上式又可化简记成 t= an2+bn t= an2+bn r θ R l 上式以a、b为参数显然是一个十分明智的做法，它为公式的最终确立即参数求解提供了方便。将已知条件代入，得方程组： 从后两式中消 去t1，解得a=0.0000291, b=0.04646,故t=0.0000291 n2+0.04646n，令n=1428，得到t=125.69（分）由于一盒录像带实际可录像时间为185.33分，故尚可录像时间 为59.64分，已不能再录下一个60分钟的节目了。 物理量大都带有量纲，其中基本量纲通常是质量（用M表示）、长度（ 用L表示）、时间（ 用T表示），有时还有温度（用Θ表示）。其他物理量的量纲可以用这些基本量纲来表示，如速度的量纲为LT-1，加速度的量纲为 LT-2，力的量纲为 MLT-2，功的量纲为 ML2T-2等。 §2.6 量纲分析法建模 量纲分析的原理 是：当度量量纲的基本单位改变时，公式本身并不改变，例如，无论长度取什么单位，矩形的面积总等于长乘宽，即公式 S=ab并不改变。此外，在公式中只有量纲相同的量才能进行加减运算，例如面积与长度是不允许作加减运算的，这些限止在一定程度上限定了公式的可取范围，即一切公式都要求其所有的项具有相同的量纲，具有这种性质的公式被称为 是“量纲齐次”的。 例3 在万有引力公式中，引力常数G是有量纲的，根据量纲齐次性，G的量纲为M-1L3T-2，其实，在一量纲齐次的公式中除以其任何一项，即可使其任何一项化为无量纲，因此任一公式均可改写成其相关量的无量纲常数或无量纲变量的函数。例如，与万有引力公式 相关的物理量有：G、m1、m2、r和F。 现考察这些量的无量纲乘积 的量纲为 由于 是无量纲的量，故应有： 此方程组中存在两个自由变量，其解构成一个二维线性空间。取（a,b）=（1,0）和（a,b）=（0,1），得到方程组解空间的一组基 （1,0,2,-2,-1）和（0,1,-1,0,0），所有由这些量组成的无量纲乘积均可用这两个解的线性组合表示。两个基向量对应的无量纲乘积分别为： 而万有引力定律则可写 成f(π1,π2)=0，其对应的显函数为：π1=g(π2)，即 万有引力定律 定理2.1 （Backinghamπ定理）方程当且仅当可以表 示为 f（π1，π2…）=0时才是量纲齐次的，其中 f是某 一函数，π1，π2…为问题所包含的变量与常数的无量 纲乘积。 设此变换的零空间为 m维的，取此零空间的一组基e1,……,em，并将其扩充 为k维欧氏空间的一组基e1,……,em, em+1,……ek 令πi=g-1(ei), i=1,…,k,显然，π1，…, πm是无量纲的，而πm+1,…, πk是有量纲的（若km）。由于公式量纲齐次当且仅当它可用无量纲的量表示，故方程当且仅当可写 成f(π1，…, πm)=0时才是量纲齐次的，定理证毕。 证 设x1,…,xk为方程中出现的变量与常数, ,对这些变量与常数的任一乘积 ,令 函数g建立了xi(i=1,…,k)的乘积所组成的空间 与k维欧氏空间之间的一个一一对应。现设涉及到的基本量纲有n个,它们 为y1,