北京航空航天大学线性代数第六章6-4-正定二次型和正定矩阵.ppt

线性代数 朱立永 北京航空航天大学 数学与系统科学学院 答疑时间：星期二晚上18:00－20:30 星期四晚上18:00－20:30 答疑地点：J4-102 Email: liyongzhu@buaa.edu.cn §6.1 二次型及其矩阵表示 §6.2 化二次型为标准形 §6.3 惯性定理 §6.4 正定二次型和正定矩阵 第六章 二次型 §6.4 正定二次型和正定矩阵 定义6.4.1 设 则称实二次型 为n元 实二次型. 若对于任意非零实向量 ,都有 为正定二次型;相应的实对 称矩阵 称为正定矩阵. 定理6.4.1 n元实二次型 正定的充要条件是 全都大于零. 证 必要性 若 正定,取一组数 , 代入得 全都大于零. 当 时,得 ,而其余的 充分性 若 全都大于零,则 对任一组不全为零的实数 ,有 因为至少有一个 ,即 ,所以 即 是正定二次型.证毕. ， ， 秩为n且正惯性指数也为n的n元二次型是规范形时,它是正定的. 实二次型经过可逆线性变换后其正惯性指数不变,因而实二次型经过可逆线性变换保持正定性不变. 定理6.4.2 可逆线性变换不改变实二次型的正定性. 关于n元正定二次型,有下述性质: 性质1 n元实二次型 性质2 实对称矩阵 充要条件是其正惯性指数等于n. 正定的 为正定的充要条 件是 合同于单位矩阵 . 性质3 实对称矩阵 证 由性质2可知, 性质4 实对称矩阵 证 为正定的充要条 件是存在可逆矩阵 ,使 正定的充要条件 是 合同于单位矩阵 ,即存在可逆矩阵 ,使 .证毕. 为正定的充要条 件是 的特征值全大于0,从而正定矩阵的 行列式大于0. 由定理5.3.5,必有正交矩阵 ,使 ， ， 其中, 由定理6.4.1可知,该二次型正定的充分必 , 是 的全部特征值.因为 正定的充要条件是 正定.而 对应的 二次型为 要条件是 ， ， 的行列式大于0.证毕. ,即正定矩阵 例6.4.1 判断实二次型 由于 的正定性. 解 二次型 的矩阵为 其特征多项式为 ， ， 下面介绍判定实对称矩阵 从而 的特征值为1,1,5,由性质4可知, 为正定二次型. 个常用性质.为此,先引入下述顺序主子式 的定义. 正定的一 ， ， 称其为矩阵 取 定义6.4.2 设 是n阶矩阵,依次 的前k行和前k列所构成的k阶矩阵的 行列式 的k阶顺序主子式. 性质5 实对称矩阵 正定的充要条件 是 的各阶顺序主子式全大于零. 例6.4.2 试问 取何值时, 为正定二次型？ 解 二次型 的矩阵为 要使 正定,只需让 的各阶顺序主子式 大于零,即 于是当 时, 为正定二次型. 定义6.4.3 设 为n元 实二次型, 为任一非零的实向 量. 若恒有 ,则称 为半正定 二次型; 若恒有 ,则称 为负 定二次型; 若恒有 ,则称 为 半负定二次型. 上述二次型对应的矩阵 正定矩阵, 负定矩阵和半负定矩阵. 分别称为半 若 既不是半正定,又不是半 负定,则称 为不定二次型,相应的矩阵 称为不定矩阵. 负定二次型和半正定二次型有如下结论 定理6.4.5 设 为实 二次型,则下列命题等价: ① 是负定二次型; ② 的负惯性指数为n; ③ 合同于 ; ④ 的特征值均小于零; ⑤ 的奇数阶顺序主子式小于零, 偶数阶顺序主子式大于零. 定理6.4.6 设 为实 二次型,则下列命题等价: ① 是半正定二次型; ② 的正惯性指数 其中 的秩; 是 ③ 合同于矩阵 ; ④ 的特征值均非负. 应该注意: 如果实对称矩阵 的所有 顺序主子式非负时, 未必是半正定的. 如 的所有顺序主子式皆等于0,但 是一个半负定矩阵. 例6.4.3　判断下列二次型的类型: ① ; ② . 解 ① 二次型 的矩阵为 的顺序主子式 所以 为负定二次型. ② 二次型 的矩阵为 的顺序主子式 , , 所以 是不定二次型. 例6.4.4 证明: 阶矩阵 正定的充 要条件是存在 阶正定矩阵 ,使 证 充分性 假设有 阶正定矩阵 , 使 由 对称知 对称.再由 正定, 则 的特征值 都大于0,从而 的特 征值 都大于0,所以 是正定矩阵. 必要性 设 是 阶正定矩阵,则 为实对称矩阵,从而存在正交矩阵 ,使得 即 其中 是 的 个特征值,且都大于 零,于是 取 则 .又 的 个特征值 都大于零,