北航 时间-频率分析(2017_L3).ppt

小波与多分辨率分析 多分辨率分析与正交小波基 多分辨率分析 称为多分辨率分析的尺度函数，并且存在函数 使得 构成 的规范正交基。因此上面的条件(4)可改为： (4)’ 存在函数 使得 构成 的规范正交基。并称 为多分辨率分析的正交尺度函数。 时间－频率分析 第二部分：小波变换与时频分析 第二部分：小波变换与时频分析 第三章：连续小波变换 第四章：小波与多分辨率分析 第五章：尺度滤波器与小波 第六章：小波框架与信号奇异性描述 第七章：小波包 小波变换概述 小波变换理论的发展过程 小波变换的思想来源于对函数的伸缩与平移方法，这种思想方法已有相当长的历史，可以追溯到1910年Haar提出的“小波”规范正交基； 小波的原始概念是七十年代末法国Elf Acquitaine石油公司的地球物理学工程师J.Morlet在处理地震波数据时提出的，用于能对信号的高频成分获得好的时间分辨率和对信号的低频成分获得好的频率分辨率； 小波变换概述 小波变换理论的发展过程 真正的小波发展开始于 1986 年，当时 Meyer 创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，它的二进制伸缩与平移构成 L2(R) 的规范正交基； 1987年，Mallat巧妙地将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分析，并与Meyer共同提出了多分辨率分析理论，从而成功地统一了在此以前提出的各种具体小波函数的构造，研究了小波变换的离散化情形，给出了被称为Mallat算法的分解与重构算法。 小波变换概述 小波变换理论的发展过程 1988年Daubechies构造了具有有限支集的正交小波基并给出了由滤波器导出正交小波基的一个充分条件以及构造滤波器具体方法，而且还证明了除Haar小波基外，小波基的正交性、紧支性与对称性是不相容的； Coifman, Meyer, Quake与Wickerhauser等引入的小波包理论，可以对信号的高频带进行再划分，克服了小波基对信号的高频成分的频率分辨率差的缺点。 连续小波变换 连续小波变换的定义 定义：设 信号 的连续小波变换定义为： (3.1) 连续小波变换 连续小波变换的定义 其中 称为基本小波或母小波，而 称为由基本小波 生成的依赖于参数的连续小波。 是 的Fourier变换。 如果满足 (3.2) 则称为允许小波(Admissible Wavelet)，而式(3.2)称为允许条件。 连续小波变换 时－频特性 设 的窗中心和半径分别为 和 ，那么 的窗中心为 ，窗半径为 根据定义式(3.1)的前一等式知， 给出了信号在时间窗 中的局部信息，这个时间窗对于小的a值变窄而对大的a值变宽； 连续小波变换 时－频特性 根据 的窗中心和半径知， 的窗中心和半径分别为 和 ，由定义式(3.1)的后一等式知， 给出了信号在频域窗 中的局部信息，并且上面的频率窗当a值变小（这里设a和 为正）时，窗中心向高频方向移动，窗口变宽，而当a值变大时，窗中心向低频方向移动，窗口变窄。 连续小波变换 时－频特性 前述窗口有一重要特点：它的中心频率 与带宽 之比为与尺度a无关的常数。 给出二维时-频平面上信号在分辨单元（或时-频窗口） 上的局部化信息。 时－频特性 的分辨单元的面积虽然不变，但它通过尺度a的变化，自动调整时-频窗口的宽度、高度和中心的位置 小波变换满足信号的高频成分周期短、需要窄的时间窗以便更精确地描述高频现象和低频成分周期长、需要宽的时间窗以便充分地分析低频特性的要求，能很好地刻划含有各种频谱特性的信号。 从这种意义上，我们说小波变换具有自动“变焦”能