北航 时间序列与谱估计(2017x_L7new).ppt

最小范数算法 最小范数算法： 设 是相关矩阵的噪声特征子空间中一特征向量，且有最小范数； 谱最小范数算法(Spectral Min-Norm): 频率估计 为n个使下式最大的对应角频率： 最小范数算法 最小范数算法： 根最小范数算法(Root Min-Norm)： 求下面多项式最接近单位圆的n个根： 频率估计 为此n个根的幅角； 最小范数算法 最小范数向量的确定： 设 是信号子空间特征向量矩阵，那末： 最小范数算法 最小范数向量的确定： 最小范数解： 由于： 最小范数算法 最小范数向量的确定： 最小范数解： ESPRIT算法 ESPRIT算法的基本关系 设 那末 ESPRIT算法 ESPRIT算法的基本关系 设 那末 ESPRIT算法 ESPRIT算法的基本关系 设 由 ESPRIT算法 ESPRIT算法的基本关系 由 可知 与 有相同得特征值； ESPRIT算法 ESPRIT算法原理： 由关系 得 得 的特征值 从而得频率估计： ESPRIT算法 ESPRIT算法： 估计相关矩阵 求相关矩阵的特征值和特征向量，得特征矩阵估计： ESPRIT算法 ESPRIT算法： 由 得 根据 的特征值 得： 协方差矩阵 前后向方法 协方差矩阵 前后向方法 协方差矩阵 前后向方法 ESPRIT算法 MUSIC算法 FFT 点目标模型 时间序列与谱估计 第7讲 子空间谱估计方法 子空间谱估计方法 信号模型 非线性最小二乘方法 相关矩阵的特征分解 MUSIC算法 最小范数算法 ESPRIT算法 信号模型 许多应用中，信号为噪声中的正弦信号之和的形式： 通信，雷达，声纳和地质信号等 不但要求高分辨率谱估计，还要求精确的正弦信号参数估计； ARMA建模型不能满足应用要求。 信号模型 信号模型： 信号模型 假设条件： (1) ， (2) 是相互独立，且为 上均匀分布； (3) 是方差为 的高斯白噪声，有： 信号相关系数： 信号模型 信号相关系数： 功率谱： 信号模型 估计： 模型参数估计： 功率谱估计： 非线性最小二乘方法 非线性最小二乘为求解下面问题： 令 非线性最小二乘方法 非线性最小二乘解： 有解： 非线性最小二乘方法 非线性最小二乘解精度： 非线性最小二乘方法 非线性最小二乘解精度： 当n=1时： 非线性最小二乘方法 非线性最小二乘与周期图 相关矩阵的特征分解 相关矩阵 令 那末 相关矩阵的特征分解 相关矩阵 定义： 其中 相关矩阵的特征分解 相关矩阵 其中 相关矩阵的特征分解 相关矩阵子空间分解 设R的特征值为： 由于 为奇异矩阵，因此有： 为R的特征值，设v为对应的任一特征向量 相关矩阵的特征分解 相关矩阵子空间分解 R的特征值 对应的特征向量v为 零子空间，由于 ，零子空间是m-n维的，且 的零子空间也为 的零子空间； 由于 零子空间为m-n维的，从而 是相关矩阵R的m-n重特征值，对应的m-n维特征子空间称为R的噪声子空间； 相关矩阵的特征分解 相关矩阵子空间分解 R为正定矩阵，R的特征值为非负，任一对应于 的特征向量 有： 由于 为半正定矩阵，特征值为非负，而矩阵P为正定矩阵： 相关矩阵的特征分解 相关矩阵子空间分解 对应于特征值 的特征子空间称为R的信号子空间，它 的值域子空间； 设对应特征值 的规范正交特征向量为： 设对应特征值 的规范正交特征向量为： 相关矩阵的特征分解 相关矩阵子空间分解 令 那末 相关矩阵的特征分解 相关矩阵子空间分解 令 那末 相关矩阵的特征分解 相关矩阵子空间分解 从而 由于 因此 相关矩阵的特征分解 相关矩阵子空间分解 由 得 MUSIC算法 由 有 MUSIC算法 因此 是下列方程的解： 设 为基于估计的相关矩阵 的特征矩阵(分别对应于S,G矩阵的估计)，而 MUSIC算法 谱MUSIC算法 谱MUSIC算法是求使下式最大的n个 MUSIC算法 根MUSIC算法 根MUSIC算法是求下列方程的n个最接近单位圆根： 其中 就是n个根的幅角：