2010年深圳市高三年级第一次调研考试(理数)试题答案.docVIP

2010年深圳市高三年级第次调研考试 本大题共8小题，每小题5分，共40分． 答案 B A C D A D D C 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．9～139． 27 ． 10．． 11．6 ． 12．． 13．67 ． （二）选做题（14、15题考生只能选做一题 14．． 15．． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数（其中为正常数，）的最小正周期为． （）求的值； （）△中，，且，求． 解：（）∵ ．而的最小正周期为，为正常数，∴，解之，得．（）由（）得． 若是三角形的内角，则，∴． 令，得，∴或， 解之，得或． 由已知，是△的内角，且， ∴，，∴．又由正弦定理，得．说明：本题考查三角变换、诱导公式、三角函数的周期性、特殊角的三角函数值正弦定理等．17．（本小题满分12分） 如图已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，， （1）在直线上是否存在一点，使得平面？证明你的结论求平面平面所成的余弦值 解：线段的中点就是满足条件的点证明如下：取的中点连结，则 ，取的中点，连结， 且， ∴是正三角形，∴ ∴四边形为矩形∴．又，∴且， 四边形是平行四边形 ∴， 而平面，平面， ∴平面1）过作的平行线，过作的垂线交于，连结， ，∴， 是平面平面所成二面角的棱 ∵平面平面，∴平面， 又∵平面，∴平面，∴， ∴是所求二面角的平面角 设，则，， ∴， ∴2）∵，平面平面 ∴以点为原点，直线为轴为轴建立空间直角坐标系轴在平面内（如图）． 设，，，． ∴，， 设平面的法向量为，则， ∴∴ 解之得 取，得平面的一个法向量为. …………………………10分 又∵平面的一个法向量． ．………………………12分 说明：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力． 18．（本小题满分14分） 已知是二次函数，是它的导函数，且对任意的， 恒成立． （）求的解析表达式； （）设，曲线：点切线，与坐标轴围成的三角形面积为．求的最小值．解：（）设（其中），则， ． 由已知，得， ∴，解之，得，，，∴． （）由（1）得，，切线的斜率， ∴切线的方程为，即．从而轴的交点为，轴的交点为，∴（其中）．∴．当时，，是减函数；当时，，是增函数．∴．说明：本题考查二次函数的概念、导数等．19．（本小题满分14分） ，也可能亏损，且 这两种情况发生的概率分别为和； 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和． （1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由； （2）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润＋本金）可以翻一番？ （参考数据：，） 解：（1）若按“项目一”投资，设获利万元，则的分布列为 （万元）. 　 ………………………2分 若按“项目二”投资，设获利万元，则的分布列为： （万元）. 　 ………………………4分 又， 　 ………………………5分 ，………………………6分 所以，， 这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资． 　 ………………………8分 （2）假设年后总资产可以翻一番，依题意：，即，………10分 两边取对数得：． 所以大约4年后，即在2013年底总资产可以翻一番． ………………………13分 答：建议该投资公司选择项目一投资；大约在2013年底，总资产可以翻一番．…………………14分 说明：本题考查．（本小题满分14分） 、分别是直线和上的两个动点，的长为， 是的中点 （1）求动点的轨迹的方程； 过点直线轴不垂直）与轨迹于两点轴于点若，，：为定值解：（）设，． ∵是线段的中点∴ …………………………2分 ∵分别直线和上的点，和 ∴ …………………………4分 又，∴ ∴，∴动点的轨迹的方程为依题意，直线的斜率存在，故可设直线的方程为 设、、，则两点坐标满足方程组