向量的正交分解与向量的直角坐标运算课件新人教B版必修.ppt

2.2　向量的分解与向量的坐标运算 2.2.2　向量的正交分解与向量的直角坐标运算 学习目标 1.牢记平面向量基本定理的内容及其意义并能熟练应用． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算． 课前自主学案 温故夯基 1．平行向量基本定理：如果a＝λb，则________；反之，如果a∥b且_______，则一定存在唯一一个实数λ，使a＝λb. 2．在数轴上若A点坐标为x1，B点坐标为x2，则 线段AB的中点坐标为__________. 3．在平面直角坐标系内任一点的坐标与有序实数对建立了__________关系． a∥b b≠0 一一对应 知新益能 1．平面向量基本定理 如果e1和e2是一平面内的两个_________的向量，那么该平面内的____________a，存在唯一的 _________a1、a2，使a＝_________________. 2．基底 把_________向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e1，e2}．___________叫做向量a关于基底{e1，e2}的分解式． 不平行 任一向量 一对实数 不共线 a1e1＋a2e2 a1e1＋a2e2 思考感悟 1．平面向量的基底唯一吗？ 提示：平面向量的基底不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平面向量的一组基底． 任意 唯一 参数． 5．向量的坐标 (1)如果两个向量的_________互相垂直，则称这两个向量互相垂直． (2)如果基底的两个基向量e1，e2互相________，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解． (3)在直角坐标系内，分别取与x轴和y轴方向_____的两个单位向量e1，e2，则对任一向量a，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得a＝a1e1＋a2e2，(a1，a2)就是向量a在基底{e1，e2}下的坐标，即a＝_________其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量，a2叫做a在y轴上的坐标分量． 基线 垂直 相同 (a1，a2)． (x，y)． 6．平面向量的坐标运算 向量的加、减法 若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a＋b＝____________________，a－b＝________________即两个向量和与差的坐标等于这两个向量相应坐标的和与差． (a1＋b1，a2＋b2) (a1－b1，a2－b2)． (λa1，λa2) (x2－x1，y2－y1) 思考感悟 2.与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？ 提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)，与y轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)． 3．一个向量平移后坐标不变，但始点坐标和终点坐标发生了变化，这是否矛盾呢？ 提示：不矛盾，向量的坐标与表示它的有向线段的始点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系． 课堂互动讲练 考点突破 用基底表示向量 两个非零向量只要不共线，就能构成基底，而一个平面的基底，一旦确定，平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一地表示出来． 例1 【点评】　平面内的任何一个向量都可以用两个基底进行表示，转化时一定要看清转化的目标，牢记转化方向，把未知向量逐步往基底方向进行分解． 平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决． 用向量证明三角形的三条边的中线共点． 【思路点拨】　文字语言需首先转化为数学语言，只要先说明其中两条中线交于一个点，然后证明第三条中线也经过这个点． 平面向量基本定理的应用 例2 【点评】　证明三线共点，先证明其中两条相交于一点，然后证明第三条也经过这个点． 平面向量的坐标运算 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则． 例3