哈尔滨工业大学 计算传热学 第三章 离散方程的误差与物理特性分析-2013.ppt

§3.1 差分方程的相容性、收敛性及稳定性 §3.2 分析初值稳定性的Von Neumann方法 §3.3 离散方程的守恒特性 §3.4 离散方程的迁移特性 * * 第三章 离散方程的误差与物理特性分析 微分算子对 在（i, n）点的微分运算 差分算子对 的差分运算 是不含任何舍入误差的差分方程精确解 则截差 对于FTCS格式 注意 离散方程的 截断误差（针对方程） 1. 离散方程的精确解：离散方程的求解过程中不引入任何舍入误差的解。 一、误差 离散误差（针对具体差分方程的精确解） 与TE和 有关 微分方程精确解 差分方程精确解 2. 舍入误差（计算机数字有效位数有限） 实际计算解 3. 数值解总误差 4. 三、收敛性（针对离散误差） ,i=1,2,3…（各个点），则 当△t→0, △x→0时， 差分方程收敛 二、相容性 当△t→0、△x→0时，截差TE →0，则差分方程与微分方程相容。 四、讨论 五、稳定性 取决于任一时层计算引入的误差是否在以后时层的计算中被放大。 1.初值不稳定性：由于时间步长取值不当引起不稳定。主 要表现在显示格式的发散。 2.对流不稳定性： 主要表现为振荡 并非采用截差越高的格式越好。 因整个数值解的精度取决于各个节点差分方程的截差，而邻接边界的内节点的差分方程截差不高。 1. 并非网格越密越好 一则增加计算次数，二则增加舍入误差 2. 离散方程的截差和网格的疏密对计算结果的影响 (5) 方程及其边界条件 二阶截差离散方程 四阶截差离散方程 i=3 精确解 下图所示, 假设边值没有误差，初值误差为 对应的解为 相减得 即 说明在边值误差为0时，误差矢量的传递规律与原差分方程完全一样。 初值误差为0时 离散Fourier展开 。 获得差分格式守恒性的条件： 控制方程是守恒型。 在同一界面上各物理量及其一阶导数连续。 1. 2. 守恒格式可使结果与原题在物理上保持一致。 可使在任意体积的计算结果误差不变。 当非守恒格式在界面两侧计量的通量不能互相 抵消时，相当于用计算造成了源和汇，使计算 误差增加。 但并非一定用守恒型。 注意 1. 2. 3. 4. 物理性质 扩散：把某点上扰动的影响向各方向传递 对流：有强烈的顺流方向性。 扰动的传播的性质：迁移特性。 隐式格式有相同的迁移特性 = 扩散项的中心差分格式具有各向均匀传递的特性。 对流项的中心差分格式不具迁移特性。 对流项的迎风差分格式具有迁移特性。 虽然中心差分的截差为二阶，而迎风为一阶，但其物理特性的模拟要好,故不能仅考虑数学精度。 迁移性总结