姜启源编《数学模型》第四版_第8章.ppt

5种除数法：一个数值例子 GR方法满足性质 1，但不满足性质2, 3. 除数方法满足性质2, 3, 但不满足性质1 . 模型的公理化研究 100 100 100 100 100 100 100 100000 1 2 1 1 1 1 1.10 1100 7 1 2 2 1 1 1 1.40 1400 6 1 2 2 2 1 1 1.44 1440 5 1 2 2 2 1 1 1.45 1450 4 2 2 2 2 1 1 1.46 1460 3 2 2 2 2 2 1 1.66 1660 2 92 88 89 90 93 94 91.49 91490 1 GR SD HM EP MF GD qi pi i 模型的公理化研究 可以找到同时满足份额性和席位单调性的方法. 已经证明：对于m≥4, N≥m+3, 不存在满足3条性质(份额性、席位单调性、人口单调性) 的分配方法. 关于席位分配问题的历史发展状况、数学研究方法的完整叙述：M.L.Balinski H.P.Young, Fiar Representation 2001年第2版 席位分配问题评述 建立“公平分配席位”模型的关键是建立衡量公平程度的数量指标. 对各种方法违反某条公理的概率也有研究 （仿真） 如果采用公理化方法——提出公平分配席位的理想化原则，那么该问题尚未彻底解决——已证明不存在满足一组公理的席位分配方法. 人们提出过上百种方法，还研究、比较过方法的相容性、稳定性、无偏性等. MF无偏！ 上述讨论可推广到m变化的情形、有上下限的情形等. 历史资料及权力指标 美国国会实际采用过的方法： 1830年前采用GD 1840年采用MF 1850-1900年采用GR（有时辅以调整） 1910年采用MF 1920年没有重新分配席位 1930年后采用EP 相关问题：得到席位，就意味着有权力吗？ 投票规则； 权力指标 计量政治学 投票评选优秀电影、优秀运动员、? ? 根据投票情况决定选举结果——选举规则. 怎样的选举规则才是公正的？公正的标准是什么？ 8.5 存在公正的选举规则吗 背景与问题 在普遍赞同的标准下是否存在公正的规则？ 群体决策——社会经济领域中用民意调查的办法决定人民大众对某些事件、政策、人物的倾向. I={1, 2, ?, n}~ 选民集合(n 1) A={x, y, z, u, v, ?} ~ m位候选人集合( m 1) 选民 i (?I ) 对全体候选人投票 ~ A的一个排序 pi 根据全体候选人的投票 pi (i = 1, 2, ?, n) 确定群体对A的一个排序 p (选举结果 ) 选举规则：pi (i = 1, 2, ?, n) ? p 的对应关系（群体一致函数） 选举规则 选举规则 排序pi (i = 1, 2, ?, n)和 p应满足的性质(公理)： 对于任意的 x, y? A, 或者 x优于y (xy ), 或者 x 等同 y (x~y ), 或者 x劣于y (xy ). 2. 对于任意的 x, y, z? A, 若 x ?y, y ? z, 则x ? z； 且仅当 x =y, y = z时, 才有x = z. ~可传递性 ( ?表示优于或等同，?表示劣于或等同) 选举规则1 ~ 简单多数规则 当且仅当超过半数的选民 i 投票 pi 中有xy时，选举结果 p中才有xy （ 和~有类似关系）. 例1. 设I={1, 2, 3}对A={x, y, u, v}的投票为 p1 : xyu~v， p2 : yxuv， p3 : x~uvy， 选举结果 p : xyuv 简单多数规则 使用方便 不满足排序的可传递性 例2 . p1 : xyz， p2 : yzx， p3 : zxy， 按规则 p 应有 xy, yz, zx ~ 破坏可传递性 选举规则2 ~ 记分规则（Borda数） Bi(x)~ pi 中劣于x的候选人数目(i = 1, 2, ?, n) 例1. 设I={1, 2, 3}对A={x, y, u, v}的投票为 p1 : xyu~v， p2 : yxuv， p3 : x~uvy， ~ x 在选举中的分数, 称Borda数 当且仅当B(x) B(y)时，选举结果 p中才有xy B1(x)=3, B2(x)=2, B3(x)=2 ? B(x)= 7 B(y)=5, B(u)=3, B(v)=1 p: xyuv 例2. p1 : xyz， p2 : yzx， p3 : zxy， 选举规则2 ~ 记分规则（Borda数） B(x)= B(y)=B(z)=3 ? p: x~y~z 问题：投票时只要求顺序，而记分规则考虑优劣程度 例3. 设I={1, 2, 3, 4}对A={x, y, z, u,