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对偶理论与灵敏度分析1
第二章 对偶理论与灵敏度分析
复习与小结
§1 单纯形法的矩阵描述
§2 改进单纯形法
§3 对偶问题的提出
§4 线性规划的对偶理论
§5 对偶问题的经济解释——影子价格
§6 对偶单纯形法
§7 灵敏度分析
线性规划问题: 设max z = CX
AX = b
X ≥ 0
A为m×n阶矩阵 RankA=m ,取B为可行基, N为非基,
§1 单纯形法的矩阵描述
§1 单纯形法的矩阵描述
§1 单纯形法的矩阵描述
求解步骤:
例:Max z=2 X1+ 3X2 + 0 + 0 + 0
X1+ 2 X2 + X3 =8
4 X1 + X4 =16
4 X2 + X5 =12
X1, X2 ≧0
X1 X2 X3 X4 X5
2 3 0 0 0
CB XB b
X3 X4 X5
0 0 0
8 16 12
1 4 0
2 0 4*
1 0 0
0 1 0
0 0 1
j
2
3
0
0
0
单纯形法步骤
X3 X4 X2
0 0 3
3 0 1 0 0 1/4
16 4 0 0 1 0
2 1 * 0 1 0 -1/2
σj
2
0
0
0
-3/4
2
4
-
X1 X4 X2
2 0 3
3 0 1 0 0 1/4
8 0 0 -4 1 2 *
2 1 0 1 0 -1/2
σj
0
0
-2
0
1/4
§2 对偶问题的提出
现在出租,设y1为设备单位台时的租金
y2,y3为材料A、B转让附加费(kg-1)
则M2为M1的对偶问题,
反之亦然。
一般的,原问题:max z = CX AX ≤ b X ≥ 0
对偶问题:min w = Yb YA ≥ C Y ≥ 0
比较: max z min w
决策变量为n个 约束条件为n个
约束条件为m个 决策变量为m个
“≤” “≥”
1、典型情况
[eg.2]max z = x1 + 2x2 + x3
2x1 + x2 ≤ 6
2x2 + x3 ≤ 8
x1,x2,x3 ≥ 0
§3 对偶问题的化法
2、含等式的情况
[eg.3]max z = x1 + 2x2 + 4x3
2x1 + x2 + 3x3 = 3
x1 + 2x2 + 5x3 ≤ 4
x1,x2,x3 ≥ 0
一般,原问题第i个约束取等式,对偶问题第i个变量无约束。
3、含“≥”的max问题
[eg.4]max z = x1 + 2x2 + 4x3
2x1 + x2 + 3x3 ≥ 3
x1 + 2x2 + 5x3 ≤ 4
x1,x2,x3 ≥ 0
线性规划的对偶关系
原问题(或对偶问题)
对偶问题(或原问题)
目标函数max z
n个
变 ≥0
量 ≤0
无约束
目标函数min w
n个 约
≥ 束
≤ 条
= 件
约 m个
束
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