工程传热学课件第五章.ppt

长春理工大学机电工程学院 第五章 导热问题的数值解法 例如：根据第k次迭代的数值 可以求得节点温度： 在计算后面的节点温度时应按下式（采用必威体育精装版值） 长春理工大学机电工程学院 第五章 导热问题的数值解法 3、迭代过程是否已经收敛的判据 判断迭代是否收敛的常用判据有一下三种： 其中上角标 及 表示迭代次数， 为第 次迭代计算所得的计算区域中的最大值。一般采用相对偏差小于规定数值的判据比较合理，而且当计算区域中有接近于零的 时，宜采用第三式。允许的相对偏差 之值常在 之间，视具体情况而定。 长春理工大学机电工程学院 第五章 导热问题的数值解法 （1）设有一个三元方程组，记为： （2）假设一组解（即迭代初场），由上逐一计算出改进值。每次计算均用t的必威体育精装版值代入；例如当上式中的第三式计算时代入的是第一第二新算的值。 （3）以新计算所得之值作为初场，重复上述计算,直到相邻两次迭代值之差小于允许值，此时称为已达到迭代收敛，迭代计算终止。 长春理工大学机电工程学院 第五章 导热问题的数值解法 5-2 非稳态导热有限差分方程（入门引导） 非稳态导热与稳态导热的主要差别在于控制方程中多了一个非稳态项，而扩散项的离散方法与稳态是一样的。本节以一维非稳态导热问题为例，导出非稳态导热有限差分方程。 同稳态一样，非稳态导热有限差分方程的推导也有泰勒级数展开法及热平衡法，本节重点介绍热平衡法。 可见非稳态导热的特点是：温度不仅随空间坐标变化，并且还随时间而变。因此，对微分方程进行离散化必须同时把所研究的时间和空间范围各自分割成许多细小的间隔组成网格，即时-空坐标，如图所示。其中任意节点 温度表示为： 一、时间-空间区域的离散化 由前所知，一维非稳态无内热源的导热微分方程式为： 长春理工大学机电工程学院 第五章 导热问题的数值解法 对上述微分方程中时间导数 采用向前差分格式（用时间上向前一个间隔的值与考察点的当地值之差确定称为 ；如果用当地值与向后一个间隔之差确定则 ；而用考察点当地向前半个间隔与向后半个间隔之差确定则称为 ）可表示为： 上角标i表示时间间隔序号 下角标m表示空间间隔序号 任意点温度 向前差分 格式 向后差分格式 中心差分格式 长春理工大学机电工程学院 第五章 导热问题的数值解法 对微分方程中空间坐标导数 采用中心差分格式推导如下： 一阶导数差分形式： 二阶导数差分形式： 代入导热微分方程整理得一维非稳态导热有限差分方程： 显示格式 长春理工大学机电工程学院 第五章 导热问题的数值解法 二、边界节点的离散方程 如图所示为一无限大平板的右边界部分，其表面受到周围流体的冷却，表面传热系数为 。此时边界节点 代表宽度为 的元体（图中有阴影线部分）。对该元体应用能量守恒定律可得 整理可得： 长春理工大学机电工程学院 第五章 导热问题的数值解法 式中， 式中 及 分别为 及 。于是差分方程可改写为： 是以 为特征长度的傅里叶数，称为 。 可做如下变化： 已经证实，显示格式差分方程的解并不是无条件收敛的。只有在满足下式的条件下方程式的解才会收敛。或者称方程组稳定。 网格傅里叶数 网格傅里叶数 网格毕渥数 长春理工大学机电工程学院 第五章 导热问题的数值解法 解：经分析可视为一维常物性稳态导热的数值求解问题。采用热平衡法可列出节点2、3、4的离散方程为： 节点2： 节点3： 例题5-1：一等温截面直肋，高 ，厚 ，肋根温度为 ，流体温度为 ，表面传热系数为 ，肋片导热系数为 。将它均分成4个节点，试对肋端为绝热及对流边界条件（ 同侧面）的两种情况列出节点2、3、4的离散方程并计算节点2、3、4的温度。已知 ， ， ， ， 。 长春理工大学机电工程学院 第五章 导热问题的数值解法 节点4（肋端绝热）： 节点4（肋端对流）： 应为 其中 。代入已知条件可得两组方程组： 由此解得：肋端加热 肋端对流 长春理工大学机电工程学院 第五章 导热问题的数值解法 例题5-2：一矩形直肋，高 ，厚 ，垂直纸面方向足够长。肋片导热系数