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二 数学规划模型 三 方程模型 3.1 如何施救药物中毒 3.2 按年龄分组的种群增长 调查与分析 转移率正比于x 排除率正比于y 胃肠道 血液系统 口服药物 体外 认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的，可以将血液系统看作一个房室，建立“一室模型” . 药量x(t) 药量y(t) 血液系统对药物的吸收率 (胃肠道到血液系统的转移率) 和排除率可以由半衰期确定. 半衰期可以从药品说明书上查到. 通常，血液总量约为人体体重的7 % ~8%，体重50~60 kg的成年人有4000ml左右的血液. 目测这个孩子的体重约为成年人的一半，可认为其血液总量约为2000ml. 调查与分析 血药浓度=药量/血液总量 口服活性炭来吸附药物，可使药物的排除率增加到原来（人体自身）的2倍. 临床施救的办法： 体外血液透析，药物排除率可增加到原来的6倍，但是安全性不能得到充分保证. 模型假设 1. 胃肠道中药物向血液的转移率与x(t) 成正比，比例系数λ(0)，总剂量1100 mg药物在t=0瞬间进入胃肠道. 2. 血液系统中药物的排除率与y(t) 成正比，比例系数μ(0)，t=0时血液中无药物. 3. 氨茶碱被吸收的半衰期为5 h，排除的半衰期为6 h. 4. 孩子的血液总量为2000 ml. 胃肠道中药量x(t), 血液系统中药量y(t)，时间t以孩子误服药的时刻为起点（t=0）. 模型建立 x(t)下降速度与x(t)成正比(比例系数λ), 总剂量1100mg药物在t=0瞬间进入胃肠道. 转移率正比于x 排除率正比于y 胃肠道 血液系统 口服药物 体外 药量x(t) 药量y(t) y(t)由吸收而增长的速度是λx，由排除而减少的速度与y(t) 成正比(比例系数μ) , t=0时血液中无药物. 模型求解 药物吸收的半衰期为5 h 药物排除的半衰期为6 h 只考虑血液对药物的排除 血液总量2000ml 血药浓度200μg/ml 结果及分析 胃肠道药量 血液系统药量 血药浓度100μg/ml y(t) =200mg 严重中毒 y(t) =400mg 致命 t=1.62 t=4.87 t=7.89 y=442 孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救，约3h后将致命！ y(2)=236.5 施救方案 口服活性炭使药物排除率μ增至原来的2倍. 孩子到达医院(t=2)就开始施救，血液中药量记作z(t) λ=0.1386 (不变)，μ =0.1155×2=0.2310 施救方案 t=5.26 z=318 施救后血液中药量z (t)显著低于y(t). z (t)最大值低于致命水平. 要使z (t)在施救后立即下降，可算出μ至少应为0.4885. 若采用体外血液透析，μ可增至0.1155×6=0.693，血液中药量下降更快；临床上是否需要采取这种办法，当由医生综合考虑并征求病人家属意见后确定. 3.2 按年龄分组的人口模型 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同. 建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律. 假设与建模 种群按年龄大小等分为n个年龄组，记i=1,2,…,n 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,… 以雌性个体数量为对象. 第i 年龄组1雌性个体在1时段内的繁殖率为bi 第i 年龄组在1时段内的死亡率为di, 存活率为si=1- di 假设 与 建模 xi(k)~时段k第i 年龄组的种群数量 ~按年龄组的分布向量 预测任意时段种群按年龄组的分布 ~Leslie矩阵(L矩阵) (设至少1个bi0) 稳定状态分析的数学知识 L矩阵存在正单特征根?1， 若L矩阵存在bi, bi+10, 则 P的第1列是x* 特征向量 , c是由bi, si, x(0)决定的常数 且 解释 L对角化 稳态分析——k充分大种群按年龄组的分布 ~ 种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布, 与初始分布无关. ~ 各年龄组种群数量按同一倍数增减， ?称固有增长率 与基本模型 比较 3）?=1时 ~ 各年龄组种群数量不变 ~ 1个个体在整个存活期 内的繁殖数量为1 稳态分析 ~存活率 si是同一时段的 xi+1与 xi之比 （与si 的定义 比较） 3）?=1时