北京工业大学-薛毅老师-工程数据建模实验1.doc

数学建模第一次作业 1、基本实验 1.1 贷款问题 小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的利率是0.6%/月。他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。 (1)在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少？共计付了多少利息？ (2)在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？ (3)如果在第6年初，银行的贷款利率由0.6%/月调到0.8%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少？ (4)某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三年还清贷款。但条件是: (i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2； (ii)因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。 试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。 ******************************************************************** 解答： （1）设第k个月后剩余的欠款额为，r为月利率，x为每月还款额，从而有递归关系式，其中k=1,2…n ，N为贷款总月数。为最初贷款额。当k=N时 ，则有 故每月还款的数目为 1574.699元 共需要还款数目为元，可得出支付利息总额为元。 （2）五年（即60个月）后还清全部的贷款，一次性提前还清剩余贷款，将k=60带入上述公式，计算后得到元，即在第六年初一次性付款173034.9元就可以付清贷款。 （3）第六年更改利率后，由于仍然采用等额还款的方式，因此初值，代入公式重新计算， ，。从而可计算得到更改利率后每月应付款1817.329元。 （4）小王夫妇不会请这家贷款公司帮助，分析如下： 若采取借贷公司的方案，需要预先支付贷款总额的10%即为2万元，我们来对比去掉这2万元后每个月的月供数额。 方案1：假设小王夫妇先将这2万元支付给银行，自己再分17年（提前三年）还贷给银行，我们可计算出每月的还款额，公式为,经计算每月应还款额0.1532万元。 方案二：按借贷公司的方案，N=2417，计算公式为，经计算每月应还款额0.1575万元。 通过两个方案计算结果的比较，借贷公司每个月需要还的钱更多，不合算。而且借贷公司还要求每半月支付，还涉及月中是否有钱等问题。所以分析结果是小王夫妇采纳这家贷款公司方案。 1.2 冷却定律与破案 按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为To (ToT)的环境中冷却的速度与温差T-To成正比。你能用该定律确定张某是否是下面案件中的犯罪嫌疑人。 某公安局于晚上7时30分发现一具女尸，当晚8时20分法医测得尸体温度为32.6℃,一小时后，尸体被抬走时又测得尸体温度为31.4℃,，已知室温在几个小时内均为21.1℃,由案情分析得知张某是此案的主要犯罪嫌疑人，但张某矢口否认，并有证人说:“下午张某一直在办公室，下午5时打一个电话后才离开办公室”。从办公室到案发现场步行需要5分钟，问张某是否能被排除在犯罪嫌疑人之外？ ******************************************************************** 解答 设温度随时间t的变化函数为T(t)，根据Newton冷却定律有：，其中k为常系数，为初始温度，且求解此方程可得到： ，其中C为常数——(1) 由题设条件可知：，其中为8时20分法医测得的尸体温度，为尸体被抬走时的温度。将其代入(1)式可得到： C=-11.5 k=0.11 人的正常体温约为，计算出 从而可以得出死者大约2小时57分以前被害。8时20分测出尸体温度，也就是说死者在下午5时23分死,而张某在5时5分就能赶到事发现场，故不能排除张某的犯罪嫌疑。 1.3 锻炼想象力、洞察力和判断力的问题（只简单回答出理由即可） (1)某人早8时从山下旅店出发沿一条山路上山，下午5时到达山顶并留宿，次日8时沿同一路径下山，下午5时回到旅店。该人必在两天中的同一时刻经过路释中的同一地点，为什么？ 解答：根据题意，1个人两天在同一路径山的做相反运动，可以等同于2个人在同一天在同一路径上做相反方向运动，更确切的说是，假设甲早8点从山下向山上方向进发，乙早8点从山上向山下出发，下午5点时候他们都分别到达另外一方的出发地，根据生活常识可以知道两个人在中途某地必然相遇，改点即为题中所求之点。 另外，也可以用数学原理简单论证。此人登山和下山的长度可以理解为一个以时间t为变量的连续函数，路径长度为s，其连续区间为[8，17]。由题