圆与相似三角形综合问题.doc

学生： 科目： 数 学 教师： 谭 前 富 课 题 相似三角形和圆的综合提高 教学内容 知识框架 相似三角形的性质是几何证明的重要工具，是证明线段和差问题、相等问题、比例问题、角相等问题的重要方法,尤其在圆中,相似三角形有着极其重要的作用. 1、相似三角形的性质 相似三角形的对应边成比例，对应角相等，对应边上的中线，角平分线，高线，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方. 2、相似三角形的判定方法 （1）三边对应成比例的两个三角形相似 （2）两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似 （3）两组角对应相等的两个三角形相似. 3、相似三角形中几个的基本图形 4、由相似三角形得到的几个常用定理 定理1 平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形形似. 如图，若∥,则, 或. 定理2 平行切割定理 如图，分别是的边上的点， 过点的直线交于,若∥, 则 定理3 （平行线分线段成比例定理）两条直线被一组平行线截得的对应线段成比例. 如图，若∥∥，则 , 定理4（角平分线性质定理） 如图，分别是 的内角平分线与外角平分线， 则. 定理5 射影定理 直角三角形斜边上的高分原三角形成两个直角三角形，这两个三角形与原三角形相似. 定理6 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。 即：在⊙中，∵弦、相交于点， ∴ 定理7 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 即：在⊙中，∵直径， ∴ 定理8 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即：在⊙中，∵是切线，是割线 ∴ 定理9 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。 即：在⊙中，∵、是割线 ∴ 【例题精讲】 二例题讲解 1 利用相似证明角相等 例1 如图，中，,是边的中点，，垂足为,交于点. (1) 求证： (2) 若,求的面积. 练习 在中，于点，于点， 于点，求证：. 2 利用相似证明线段相等 例2 已知点分别在矩形的边上，∥，分别交于点，求证：. 练习 1、如图，梯形中∥，对角线交于点，过点作的平行线分别交于点，求证. 2、如图，中，于，分别是的中点，于，求证:. 3 证明比例（等积）线段 例3 如图，为的两条角平分线，过点作直线分别交于点，若，求证： 例4 如图，在四边形中，与相交于点，直线平行于，且与及的延长线分别交于点和， 求证： 练习 1、如图，在中，是的平分线，的垂直平分线交于点，交的延长线于点.求证: 2、是的高线，过作的垂线， 垂足为，与及的延长线分别相交于， 求证： 3、是的角平分线，，求证： 4 求线段比 例5 是正方形，是的中点， 联接交于，求. 练习 1、梯形中，∥, 对角线于点，若，求的值. 2、如图，在平行四边形中，过点的直线顺次与及的延长线相交于点,若求的长. 5 证明线段（线段比）和差 例6 如图，已知∥∥分别是和的中点，过的直线依次交于点.求证:. 练习 如图，是内一点，分别与对边交于点， 求证：. 6 证明垂直 例7 如图，分别是正方形的边上的点，且，过作的垂线，垂足分别为，求证：. 练习题 1、如图，中，，是边上的高，是边上一点，过点作的垂线，垂足分别为，求证： 2、与均为等边三角形，和的中点均为，求证： 7 证明平行 例8 如图，在矩形中，是边上的点，满足，又是上的点，满足．与相交于点，与相交于． 求证：∥． 练习题 如图，两个等边顶点重合，过点作的平行线，分别交于. （1）求证：平分. (2) 求证：∥. 8 利用相似三角形的面积比 例9 在的内部取点，过点作3条分别与的三边平行的直线，这样所得的3个三角形的面积分别为4,9,49，求的面积. 练习 1、是斜边上的高，求证： 2、梯形中∥,,点在上，且∥,若直线平分梯形的面积，（1）求的长，（2）求的值 练习题 1、已知平行四边形中，为的三等分点，分别交于两点，求的值. 2、如图，在平行四边形中，为的中点，，交于点，求证： 3、 如图，是的中线，是上一点，分别交于点，求证:∥ 4、中，，是边的中点，交于点，交于点