圆锥曲线的极坐标方程介绍.doc

圆锥曲线的极坐标方程介绍 很多老师在讲授圆锥曲线或进行总复习时，为了解题方便的需要，对圆锥曲线的极坐标方程作了相应的介绍．因为介绍的不是很详细，很多同学还是很不清楚．下面，我再详细地介绍一下圆锥曲线的极坐标方程． 利用坐标系来确定平面内点的位置和建立曲线的方程，除了直角坐标系外，常用的还有极坐标系．它是用长度和角度来确定平面内点的位置的一种坐标系． 在平面内取一固定点，从引一条射线，再确定一个计算长度的单位长和计算角度的正方向（通常我们选取逆时针方向作为正方向）．这样就构成了一个极坐标．其中，点叫做极点，叫极轴（如图一）． 设是平面内一点，连接线段，那么极点和点的距离，叫做点的极半径，通常用来表示；以极轴为始边，射线为终边的所成的，叫做点的极角，通常用来表示．（，）就是点的极坐标． 为了研究的方便，我们也允许取负值．当0时，点的位置可按下列规则来确定： 作射线OM（如图二）使，在的反向延长线上点，使，那么点就是极坐标是（，）的点． 下面用极坐标来求圆锥曲线的方程．根据圆锥曲线的定义，我们如下建立直角坐标系： 取焦点为极点，作垂直于准线，垂足为，取的反向延长线为极轴（如图三），设焦点到准线的距离为． 设是圆锥曲线上的任意一点，连接，过作，，垂足分别为，那么由圆锥曲线的第二定义，得： 因为 ， 所以 就是． 这就是圆锥曲线的极坐标方程． 注意：对于椭圆和双曲线的一支，有．然而对于抛物线，其中的p即为抛物线标准方程中的． 下面我们就可以使用极坐标方程的方法很容易的解出重庆市０７年高考最后一题的第二问． (22) (本小题满分12分)如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线的方程为：x = 12。 （1）求椭圆的方程； （2）在椭圆上任取三个不同点，使，证明 为定值，并求此定值。 下面是答案中提供的方法，可以看到该解法明显比极坐标方程方法复杂．但是在高考中是允许使用极坐标方程方法的． 解：（I）设椭圆方程为． 因焦点为，故半焦距． 又右准线的方程为，从而由已知 ， 因此，． 故所求椭圆方程为． （II）记椭圆的右顶点为，并设（1，2，3），不失一般性， 假设，且，． 又设点在上的射影为，因椭圆的离心率，从而有 ． 解得 ． 因此 ， 而 ， 故为定值． X (0) 图一 图二 图三 答（22）图