大学文科数学_张国楚_导数与微分.ppt

第三章 变量变化速度与局部改变量 估值问题——导数与微分 教学目标：本章目标是介绍导数概念、求导数的方法、微分及其运算。要求理解导数的概念、会求导数与微分、掌握导数与微分的运算法则。了解牛顿的生平事迹和微积分发生与发展简史，使学生领悟数学与生产实践的关系； 教学内容 §1 函数的局部变化率 §2 求导数的方法——法则与公式 §3 局部改变量的估值问题——微分及其运算 §4 早期微积分的逻辑矛盾——牛顿的流数法 和第二次数学危机 数学家启示录 1.2 导数概念 定义1 设函数 在点 的某一邻域内有定义，当自变量 在 处有增量 （点 仍在该邻域内）时，相应地函数有增量 ，如果 与 之比 ，当 时的极限存在，则称这个极限值为 在点 处的导数，记作 ，即 1.3 求导过程的哲学分析 求函数 在点 处的导数 的思 想方法体现了辨证法： 1.4 左导数和右导数 1.5 函数的连续性和可导性之间的关系 定理：如果函数 在点 处可导，那么 在点 处可连续. 该定理可简述为：可导则连续. 1.6 高阶导数的概念 布置作业 必做题： 习题三 1，3. 选做题： 习题三 2. 思考题： 简述微积分的发展史. 2.1 求导法则 2 复合函数的求导法则 3 用复合函数求导法则求隐函数的导数 2.2 基本初等函数的求导公式 布置作业 必做题：习题三 4：⑵、⑷、⑹、⑺、（11）、（12）、（13）、（14） 5：⑵、⑷、⑹、⑻、（10），（11）、(12）， 6——10 选做题：习题三 4：⑴、⑶、⑸、⑻、⑼、（10），5：⑴、⑶、⑸、⑺、⑼、（13）、（14）、（15）、（16）， 三 思考题 简要叙述莱布尼茨在初等函数求导问题上的贡献 。 3.1 微分 3.2 微分公式和法则 完 基本初等函数的求导公式 例5 求 . 解 令 因为 所以 消去中间变量u， 得 有时复合函数的中间变量有两个或两个以上.如设 则复合函数 的求导法则为 例6 求 . 解 令 于是 消去中间变量u和v，得 例 8 求函数 的导数. 解 设 则 完 例 9 求函数 的导数. 解 设 则 注: 复合函数求导既是重点又是难点. 在求复合函 数 的导数时, 要从外层, 逐层推进. 先求 对大括号内的变量 的导数 再求 对中括号内的变量 的导数 后求 对小括号内的变量 的导数 . 最 在这里 , 注: 复合函数求导既是重点又是难点. 在求复合函 数 的导数时, 要从外层, 逐层推进. 先求 对大括号内的变量 的导数 再求 对中括号内的变量 的导数 后求 对小括号内的变量 的导数 . 最 在这里 , 首先 要始终明确所求的导数是哪个函数对哪个变量 管是自变量还是中间变量) 求导时 , 不设中间变量的字母 , 完 (不 的导数 ; 其次 , 在逐层 不要遗漏 , 也不要重复 . 熟练之后可以 心中记住 , 一气呵成 . 例 10 求函数 的导数. 解 完 例 11 求函数 的导数. 解一 设中间变量, 令 于是 求函数 的导数. 例 11 解二 不设中间变量. 完 例 11 求函数 的导数. 解 完 例 12 求函数 的导数. 解 例 13 求函数 的导数. 解 完 例 14 求导数 解 在函数表达式中, 考虑到对数的底是变量, 可 用对数换底公式, 将其变形为 这时 完 例 15 求导数 解 完 例7 求 .