定积分近似计算方法.doc

定积分的近似计算方法 摘要 关键词 1引言 在计算定积分的值时常常根据微积分学基本定理求出的一个原函数再用牛顿-莱布尼茨公式求的积分.但在实际应用中这种方法只限于解决一小部分定积分的求值问题.当函数没有具体表达式只是一些实验测得数据形成的表格或图形或者是无法用初等函数表示例如,等等这就需要我们用一些近似方法求的积分值. 与数值积分一样把积分区间细分在每个小区间上找到简单函数来近似代替且的值容易求的.这样就把计算复杂的转化为求简单的积分值.因此定积分的近似计算实质上是就是被积函数的近似计算问题. 牛顿-科茨求积公式是求积节点等距离分布的插值型求积公式. 利用插值多项式来构造数值积分公式是最常用、最基本的方法具体做法是： 给定区间上一组节点,以及节点处函数,作的次拉格朗日多项式 , 其中 ,将插值公式 . 其中 ,,依赖于变量, 上式积分得 若记 ….. (1) , (2) 则有 (3) 称式(3)为插值求型公式,其中…. 与无关,叫求积系数, 为求积节点, 为求积公式余项,其中求积系数由(1)决定. 1梯形公式 当插值节点分别选取区间端点时,由式(3)分别求出求积系数 , . 从而的求积公式 . (4) 称求积公式(4)为梯形求积公式,简称梯形公式. 2梯形公式截断误差: . (5) 3梯形求积公式的代数精度:1 当时,式(5)中 . 精确成立. 1辛普森求积公式 当选取节点为时,由式(1)求下列求积系数 , . . 从而求积公式 . （6） 称式(6)为抛物线积分公式或辛普森积分公式. 2抛物线求积公式误差估计 定理1.若在上有四阶连续导数,则抛物线公式(6)的余项为: . (7) 3抛物线公式的代数精度为3. 易验证,当时,式(6)精确成立,而当时,式(6)不能精确成立. 1牛顿-科茨公式 在等距离节点下,其中…. .作为变量替换,那么由求积公式(1),得系数: (8) 则 (9) 于是差值求积公式为: (10) 称公式(10)为牛顿-科茨求积公式,其中称为科茨系数.显然,科茨系数与被积函数及积分区间无关,它指依赖于,且为多项式积分.因此,只要给出,就能看出,并写出相应地牛顿-科茨公式. 牛顿-科茨公式的截断误差与代数精度. 当与情况分析牛顿-科茨公式的截断误差为 牛顿-科茨公式的截断误差还可以写成 为奇数） (1) 其中,且不依赖于,,对为任何并不超过次多项式,均有,因而,即精确成立,也就是说,牛顿-科茨公式的代数精度至少为,牛顿-科茨公式在为偶数时,至少具有次代数精度,在为奇数情况时,至少具有