从双线性映射谈起-高等代数.docVIP

从双线性映射谈起 龙岩学院 周金森 梁俊平 刘宏锦 定义1 设V、U与W都是域F的线性空间，是VU到W的一个映射，如果对于，,任意，有 (1) (2) 则称是VU到W的双线性映射； (i)若W=F，则称为VU上的双线性函数； (ii)若W=F，V=U，则称为V上的双线性函数； (iii) 若W=F，V=U，且，则称为V的一个对称双线性函数；记，称为V上的二次函数； (iv) 若W=F=R，V=U，，且当且仅当时，则称为正定的实对称双线性函数，或称为V上一个实内积,常记为。 一、考虑V上的双线性函数与矩阵之间的一一对应关系 V中取一个基，V中向量在此基下的坐标分别为，，则 令A=，,称A是双线性函数在此基下的度量矩阵，它是由及基唯一决定，，反之，任给一个域F的一个n级矩阵，可以定义V上的一个双线性函数，满足。 命题1 (1)V上的双线性函数在V的不同基下的度量矩阵是合同的。 (2)V上的对称双线性函数在V的一个基下的度量矩阵是对称阵。 (3) 实内积在V的一个基下的度量矩阵是正定阵。 命题2 设是特征不为2的域F的n维线性空间V上的对称双线性函数，则V中存在一个基，使得在此基下的度量矩阵是对角阵。 命题3 任一对称阵都合同于对角阵。 （矩阵语言） 因为矩阵的合同关系是一个等价关系，下面从等价关系进一步考虑 命题4 （1）在复数域上，n级对称阵按合同关系分成n+1类，秩为r的代表元为，秩是完全等价不变量。 （2）在实数域上，n级对称阵按合同关系分成类，秩为r且正惯性指数为p的代表元为，秩，正惯性指数，负惯性指数，符号差是等价不变量，不是完全等价不变量，但四个量中任取两个量是完全等价不变量。 注1 在丘维声《高等代数学习指导书》中给出惯性定理中唯一性的三种证法。 在实数域上，我们考虑一个特殊的类就是正定阵 命题5 n级对称阵A是正定阵 正惯性指数=n A合同于E 存在可逆阵P，使得A=PP kA是正定阵 （k0） 是正定阵 A的伴随矩阵是正定阵 A的所有特征值全大于0 A的所有顺序主子式全大于0 A的所有主子式全大于0 存在主对角线上的元素全是1的上三角阵B，使得A=BDB，其中D是正定的对角阵 存在主对角线上的元素全是正的上三角阵C，使得A=CC A的绝对值最大的元素必在主对角线上。 注2 利用必要性可以很快地判断某些矩阵不是正定阵。 注3 A的特征多项式 中的就是A的所有k阶主子式的和，其中，,而且,是A的所有特征值。 二、考虑对称双线性函数与二次型（二次函数）的关系 命题6 设V是特征不为2的域F的一个线性空间，q是V上一个二次函数，则存在V的唯一的对称双线性函数，使得，。 三、双线性函数空间 域F的线性空间V上的所有线性函数构成的集合，定义加法、纯量乘法，可以构成域F的一个线性空间，称为V上的线性函数空间（或对偶空间），记作V。 依此类推，我们把域F的线性空间V上的所有双线性函数构成的集合，定义加法、纯量乘法，易证对于函数的加法、纯量乘法构成域F的一个线性空间，称为V的双线性函数空间。由于双线性函数与它在V的一个基下的度量矩阵是一一对应关系，且保持线性运算，因此两个线性空间同构，从而。 为了构造V上的双线性函数，想法是给了V上的两个线性函数g,h,令，，容易验证是V上的双线性函数，把它记成，即，把称为线性函数g与h的张量积。 命题7 V的一个基，它的对偶基为，则（1） 是的一个基；（2）设双线性函数在基下的度量矩阵为，则双线性函数在的一个基 下的坐标为。 四、考虑VU上的所有双线性函数构成的线性空间 命题8 设V的一个基，它的对偶基为，U的一个基，它的对偶基为，则nm个双线性函数是的一个基。 命题9 五、线性空间的张量积及泛性（同调代数中一个重要性质） 定义2 设V、U与W都是域F的线性空间，是VU到W的一个双线性映射，具有这样的性质：从VU到域F上任意一个线性空间M的任一个双线性映射，存在W到M的唯一的线性映射，使得(即存在交换图),那么W就称为V与U的一个张量积。 注4 定义2中的性质称为张量积的特征性质，在同调代数中常称为泛性。 命题10 VU到的双线性映射,,具有张量积的特征性质。 命题10说明了两个线性空间的张量积存在。 命题11 设M是域F上的一个线性空间，是VU到M的双线性映射，它也具有张量积的特征性质，则有线性空间同构。 注6 命题11说明了两个线性空间的张量积在同构的意义下是唯一的，我们用表示V与U的