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浅谈高中数学中换元法的应用 【摘要】换元法是高中数学中比较常见也很重要的一种数学方法，灵活地运用换元法对数学问题进行转换，从而使得问题能够迎刃而解。换元法可分为局部换元、均值换元和三角换元等，对换元法的应用的探究是教育发展的很重要的一个方向。 【关键词】换元 转换 解题 数学方程 1前言 在解数学题时，用一个变量代替某个看成一个整体式子，使问题得到简化，这换元法。换元的实质是转化，依据是等量代换关键是构造元设元，目的是变换，问题，易处理。的值域时，若x∈[-1,1]，设x=sinα，sinα∈[-1,1]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。主要的解题思路是发现值域的联系，并有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2+y2 =r2（r0）时，则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。 3.几种换元法的应用 例1 已知实数x、y满足x2+y2≤l求证:{x2+2xy-y2}≤ 解：设x=kcosa，y=ksina，{k}≤1，代入结论左端，即k2cos2a+k2sin2a≤l,根据正弦(余弦)函数的有界性“cos2a+ sin2a=1”，则有k2≤1,带入不等式x2+2xy-y2≤，从而可以求证。 例2：已知.　求证：. 证明：由，可设.于是 例3：已知，，求的最大值。 解:由，可设； 由，可设. 于是 又当时，上式中等号成立。即的最大值是6. 一般地，题目中若有条件，常设进行三角换元，将问题改变成一个三角函数有关的问题，再利用三角函数知识、方法进行解答，此方法称为三角换元。事实上，对于任意两个实数，在坐标平面上总有惟一的对应点与之对应，设此点到原点的距离为，射线逆时针方向旋转到射线OA时，所转过的最小正角为，则。 例4　求函数的值域。 解　设，则，，. 在平面直角坐标系中，点是圆弧上的点，如图所示。 ，所以P表示点到直线的距离的2倍。过点作直线的平行线，则P表示直线与的距离的2倍。设平行直线与的距离为.则当过点A时（直线），取最小值1，此时；当与圆弧相切时（直线），取最大值2，此时.　所以函数的值域为. 此题通过做的代换，问题转化为两直线距离问题，简明直观。当然由，，可设则是三角换元，也可以解决问题。 4.结语 在高中数学中，换元法的重要地位的确是不容忽视的。正确又灵活的运用换元法，不仅仅可以将数学的各个方面充分的联系在一起，而且还可以不断地发掘学生的创新思维能力，培养他们的学习数学的兴趣，享受解题的乐趣。换元法的应用非常广泛，因为培养学生的思维扩散能力是数学教学的根本目的所在，善于运用方法解题是掌握数学的基础，而命题的连续简单转换是数学的解题的最好的方法。数学思想方法是数学基础知识的更高级别的范畴。善于应用数学思想方法去思考数学问题，让数学思维更具有创造力及想象力，灵活的运用换元法能将数学问题进行有效的转化以及化归，这样的解法更加简单、更加直观，是数学发展上的重要的研究方向。 【参考文献】 [1]姜昭.浅谈中学数学思想方法在课堂教学中的作用[J].教育教学论坛, 2010,(30):78. [2]蒋志荣.浅谈不定积分运算中的灵活性[J].湖北广播电视大学学报, 2011,(03):34-35. [3]高浩文.高中数学教学中应用函数思想进行解题[J].科教新报(教育科研),2011,(29):56. [4]罗天祺,郭运江.高中不等式学习中的数学思想[J].中国校外教育,2010,(S2):45.