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寫於新生國小輔導團討論之後 翁秉仁 各位老師， 前幾天因為場面太熱鬧，我平常又很「忌諱」大聲說話，所以有一些意見，讓我在這裡作個補充，供大家參考。當然有一些看法，會和大家有出入。不過我要先聲明，我是一個對數學資優教育、科展、奧林匹亞完全沒有興趣的人，因此我以下的意見，沒有任何數學菁英教育的影子，這是那天德蘭與我談到一個問題時，讓我想到。 關於建構 關於建構論（或建構觀）應該和教學法與課本分開來，我當然贊成，我以前的文章也是這個意見。用「建構教學法」來稱呼小組討論發表比較的方法，並不是我的發明，國內外文獻都有人這樣用，因此的確是一個方便的用法。 數學特性的教育結果 數學和語言比我們想像的近 數學由於其「知識」特性，與語言很神似，頗有其「約定」面，和自然科學反而不像，這導致幾個有趣的教育結論一、數學的確只能完全從心靈來建構，但是這種建構不需神秘化，它的特質就和語言是建構一樣，我們在學國語時可從來不強調它是建構的。楊校長前幾天說其他科目的教學都可以用小組討論，為什麼唯獨數學不行。我的意見是要看時機，學生年紀越大越能討論，但這也只限於熟悉要討論的東西而且素質差不多的學生。我們大概也不容易用小組討論來上基礎的國語課吧（雖然討論出一堆兒童的自創象形字可能很有趣），這是因為目標完全不同的緣故。 二、雖然說約定，但這不表示整個數學領域是一種形式或符號的遊戲。一樣的，想想國語的例子就很清楚，這是因為這些符號根本強力介入我們的生活（思考、描述、詠歎…）中，跟整個生活融為一體。分開想，每個符號我們都不知道它有什麼理由要這樣寫、這樣用，但是由於這些符號是我們用來指稱生活上必須之事（數學的指涉又高一層），因此是因為符號的大用必用，使這樣的符號系統可以學習。 三、學習約定符號的關鍵點，其實是約定符號的恰當使用。從語言經驗我們早就知道，先將文字的意義全部解明再使用，並無助於語言學習（想想我們學第二外國語）。要學好語言或數學，最重要的就是「用」，不斷地用，學生是在來來回回的使用中，堅定他們對文字或數學概念的理解。這個使用習慣的養成（作基本的習題、解和過去所學有關的問題、解決生活問題、解稍難的問題等），對學習數學有很根本的重要性。 四、數學之所以需要概念理解，而不能全部像語言那樣直接約定，原因也不奇怪，因為數的語言不像「樹」、「狗」這類直接指稱實物的文字，而是更高幾層的抽象化（例如5棵樹，5隻狗的5），因此特別要對其使用，先作一些引導、舉例、說明。但是以為學生得完全理解才能使用，是一種錯誤。事實上，正因為其抽象，所以更加要靠使用來確定其理解。換句話說，許多數學題材如果基於強調理解，拉長理解的過程，侷限學生的使用練習，對學生反而沒有好處。如果認為理解數學概念就是學習數學的全部，那就更是錯誤。 直式計算的問題 學生需要的是直式計算的方法，不是原理 「數學要有用」經常可以很根本地澄清許多數學教育的問題。例如，過去這段時間的國小數學（尤其是建構課本），我自己很不能理解的是，為何要特別在四則運算的程序上投入大量的時間，然後因為實在撐不下去，結果變成學生會加減法，但到了乘法、尤其除法時，就相當生疏吃力。最後乾脆變成不必強調直式算則的怪論，這是前述過分強調一切必須理解所導致的弊病。 我的看法完全倒過來，直式算則之所以重要是應用上到處都是，因此一定要學，但是直式算則的原理，其實相當枯躁、沒有什麼學習樂趣，而且也沒有什麼急切的數學重要性（也就是知道了暫時也沒多少幫助），因此是某種「形式數學」癖的表現，剛好和小學數學的實用性違逆。所以大家實在很難怪家長看不下去，要自己教孩子用。生活中不乏「知難行易」的例子，尤其是小朋友的學習如果一味貫徹完全理解才能使用的觀點，那幾乎是「活」不下去了，簡單地說，根本就是違反兒童學習的常態。 我不是說直式算則不需要說明、只要填鴨，但是說明的目的是要呈現其合理性，而不是要證明直式算則或歸納出直式算則，因此說明不能多到干擾學生對這個程序的學習。整個直式算則的概念重要性說穿了就是「位值」兩個字，但是「位值」概念本身用直式算則來一次教導並不適當，首先「位值」的重要性不在國小階段（因此只是很遠的前置經驗），而且在國小數學裡有更實用的「單位」、「單位換算」概念可以協助「位值」的概念的建立（化聚「錢」、「長度」、「時間」都比化聚「十」、「百」要來得有趣實在），在時間中有有趣的60進位在等著。只要保持在量的教學時，能運用複名數，就能增強支援「真正」的位值概念。至於這個概念的開花結果，要到多項式才會真正有用的展現出來，實在不是小學教育的當務之急。 看看0的例子就知道，0的概念遠比其他數字更抽象，0的出現則是位值記數法產生後的產物。但是所有小學數學介紹0時，都是以一種約定的方式引入，再加以合理的解釋不時的提醒和練習。這表示抽象邏輯順序、歷史順序都不如合理的教育順序來得重