行列式求解的若干方法.doc

目 录 摘 要 II ABSTRACT III 1绪 论 - 1 - 1.1 引言 - 1 - 1.2 行列式的定义 - 1 - 1.3 行列式的性质 - 1 - 1.4 行列式中的常用公式 - 2 - 2行列式的求解 - 4 - 2.1 定义法 - 4 - 2. - 5 - 2.3 拆项法 - 7 - - 8 - 2.4.1 范德蒙德行列式 - 8 - 2.4.2爪型行列式 - 11 - 2.5 数学归纳法 - 11 - 2.6 递推法 - 13 - 2.7 构造法 - 14 - 2.8 拉普拉斯定理 - 15 - 2.9 - 16 - 3结 论 - 21 - 参考文献 - 22 - 谢 辞 - 23 - 摘 要 行列式是高等代数学中的一个基本概念，在数学中有着极其广泛的应用，行列式的计算是行列式中的主要内容，学会如何计算行列式显得尤其重要。本论文先介绍行列式的定义，阐述行列式的基本性质，重点介绍行列式求解的主要方法与技巧，如：定义法；加边法；拆项法；利用已知公式法；数学归纳法；递推法；构造法；化三角形法以及应用拉普拉斯定理法等。 关键词：行列式；定义；性质；范德蒙行列式；拉普拉斯定理 Several methods for solving the determinant ABSTRACT The determinant is a basic concept in higher algebra, has an extremely wide range of applications in mathematics. The determinant computation is the most important side in determinant theory and learn how to calculate the determinant is especially important. This dissertation first introduces the definition and the basic properties of the determinant, we focus on the methods and techniques of the determinant computation, such as definition method, adds method, divides method, uses the known formula method, recursive method; constructs method; triangle method and also the application of Laplace theorem. Key Words: determinant; definition; property; Vandermonde determinant; Laplace theorem 1绪 论 引言 行列式是高等代数学中的一个重要的内容，它最早起源于求解线性方程组中。行列式的用途较为广泛，它是数学、物理学以及工科等许多课程的重要学习工具。行列式的计算是行列式中的最主要的内容，行列式的解题方法有着灵活多样性，以及高技巧性[1]。对于阶数较低的行列式，直接运用行列式的定义和性质计算出结果；针对一般的阶行列式，特别是当较大时，直接运用定义困难繁琐，因此对于行列式计算方法的研究是十分必要的。阶行列式的计算问题 为数域的阶矩阵，定义 n阶行列式 其中为排列的逆序数。 所谓逆序数，是指一个排列中，如果一个比较大的数排在了比较小的数前面，那么我们就称为这两个数构成了一个逆序，一个排列的逆序数总数就是这个排列的逆序数[1]。 1.3 行列式的性质 （1）经过转置的行列式的值不变. （2）数乘以行列式的某一行（或列）等于此数乘以此行列式。 （3）若行列式中某行（或列）是两组数的和，则这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行（或列）一样，即为 (4) 若行列式中有两行（或列）对应元素成比例，则行列式的值为零。 推论：如果行列式中有某一行（或列）全是零，则行列式的值为零。 (5) 把行列式的某一行（或列）乘以一定的倍数加到另一行（或列）上，则行列式的值保持不变。 (6) 对换行列式中两行（或列）的位置，行列式的值反号。 1.4 行列式中的常用公式 1）； 2）； 3）Vandermonde(范德蒙德)行列式[2] ； 4）设和分别为阶和阶方阵，则 ; ; 5）行列式降阶定理：设和分别为阶和阶方阵，则 ； 证明：当可逆时，由于