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2007年全国硕士研究生入学统一考试数学试题 （数学一） 一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)当时，与等价的无穷小量是 (A) . (B) . (C) . (D) .　 【 】 【答案】 应选(B). 【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案. 【详解】当时，有；； 利用排除法知应选(B). 【评注】 本题直接找出的等价无穷小有些困难，但由于另三个的等价无穷小很容易得到，因此通过排除法可得到答案。事实上， = 完全类似例题见《经典讲义》P.28例1.63, 例1.64, 例1.65及辅导班讲义例1.6. (2)曲线，渐近线的条数为 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.　 【 】 【答案】 应选(D). 【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。 【详解】 因为，所以为垂直渐近线； 又 ，所以y=0为水平渐近线； 进一步，=， = =， 于是有斜渐近线：y = x. 故应选(D). 【评注】 一般来说，有水平渐近线(即)就不再考虑斜渐近线，但当不存在时，就要分别讨论和两种情况，即左右两侧的渐近线。本题在x0 的一侧有水平渐近线，而在x0的一侧有斜渐近线。关键应注意指数函数当时极限不存在，必须分和进行讨论。 重点提示见《经典讲义》P.145页，类似例题见P.150例7.13, 例7.14及辅导班讲义例7.8. (3)如图，连续函数y=f(x)在区间[?3，?2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[?2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设则下列结论正确的是 (A) . (B) . (C) . (D) .　 【 】 【答案】 应选(C). 【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。 【详解】 根据定积分的几何意义，知F(2)为半径是1的半圆面积：， F(3)是两个半圆面积之差：=， 因此应选(C). 【评注1】 本题F(x)由积分所定义，应注意其下限为0，因此 ，也为半径是1的半圆面积。可知(A) (B) (D)均不成立. 【评注2】若试图直接去计算定积分，则本题的计算将十分复杂，而这正是本题设计的巧妙之处。 完全类似例题见《经典讲义》P.152例7.15, 例7.16，例7.18及辅导班讲义例7.12 (4)设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是： (A) 若存在，则f(0)=0. (B) 若存在，则f(0)=0. (C) 若存在，则存在. (D) 若存在，则存在 【 】 【答案】 应选(D). 【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。 【详解】(A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)=0. 若存在，则，可见(C)也正确，故应选(D). 事实上，可举反例：在x=0处连续，且 =存在，但在x=0处不可导。 重要知识点提示见《经典讲义》P.39，完全类似例题见P.41例2.1, P.42例2.6及P.60习题2及辅导班讲义例2.5. (5)设函数f (x)在上具有二阶导数，且 令, 则下列结论正确的是： (A) 若，则必收敛. (B) 若，则必发散. (C) 若，则必收敛. (D) 若，则必发散.　 【 】 【答案】 应选(D). 【分析】 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。 【详解】 设f (x)=, 则f (x)在上具有二阶导数，且，但发散，排除(C); 设f(x)=, 则f (x)在上具有二阶导数，且，但收敛，排除(B); 又若设，则f(x)在上具有二阶导数，且，但发散，排除(A). 故应选(D). 【评注】也可直接证明(D)为正确选项. 若，则存在，使得. 在区间上应用拉格朗日中值定理, 存在使得 , 又因为在上 因此在上单调增加，于是对有 . 在区间上应用拉格朗日中值定理, 存在使得 , 即 故应选(D). 重要提示与例题见《经典讲义》P.19例1.40, 例1.41、《真题（一）P.40题3》及辅导班讲义例1.12