CH1 绪论1.1模型 1.2概念.pptxVIP

常微分方程;学习《常微分方程》重要性; 常微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各种实际问题的有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术,自动控制,航天,生命科学,经济等领域都有着广泛的应用.;课程目的/Major Subjection of Course/ 学习可求解的常微分方程(组)的类型及其求解方法。 熟悉常微分方程解的基本性质(如解的存在性，唯一性等)，了解研究常微分方程的基本方法(如稳定性分析、定性分析等)。 课时/Periods/ 4节/周，共48学时。 考试/Examination/ 闭卷：期末考试(70%)。 参考书目/Reference Books/ 窦霁虹，常微分方程考研教案，西北工业大学出版社。 朱思铭,常微分方程辅导与习题解答，高等教育出版社。;常微分方程 Ordinary differential equation;第一章 绪 论 Introduction;CH1§ 1.1 微分方程模型/ Modeling of ODE/;例1 R-L-C电路;(2)回路中设R、L 、C及为常数，电源电压e(t) 。;例2 (数学摆)数学摆是系于一根长度为 l 的线上而质量为m的质点M. 在重力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圆周运动.如图所示.试确定摆的运动方程. ;【注】(1) 假设摆是在一个有粘性的介质中作摆动, 存在沿运动方向阻力,与v成正比,系数为 ?, 则:;∴;微分方程;例4 (传染病模型); SI 模型:;例4 两种群生态模型 被食-捕食模型;两种群 x(t), y(t) a、b、c、d 正数;美国气象学家Lorenz在1961年发现方程的解对初值敏感的现象。后来由李-约克提炼出“混沌”概念，触发了一场科学革命。;模型: 反映客观现实世界中量与量的变化关系，往往与时间有关，是一个动态(动力)系统. ;§ 1.2 基本概念/Basic Conception/;常微分方程与偏微分方程/ODE and PDE/ ;一阶与高阶微分方程/First and Higher ODE/;一阶常微分方程的一般隐式形式可表示为：;线性和非线性微分方程/Linear and Nonlinear ODE/;n阶线性微分方程的一般形式为：;解和隐式解/Solution/ ;通解和特解/General Solution and Special Solution/;初值条件/Initial Value Conditions/;积分曲线和积分曲线族 /Integral Curve(s)/;方向场/Directional Pattern/;例1 画出方程;例2 画出方程;n阶微分方程 其中 取变换 则n阶微分方程变为1阶微分方程组 可记为 或 ;驻定(自治)微分方程组 含时间t的微分方程组叫非驻定方程组 引进新时间 ?，非驻定方程组可化为(n+1维空间)驻定方程组: ;过y的解?(t,y)可视t为参数，称为单参数变换群 ?t(y) 动力系统 常微分驻定方程组可称为连续动力系统;相空间 轨线 驻定解(平衡解、常数解) 奇点 相平面 其相空间(x,y)称为相平面。;平面一阶驻定方程组 其积分曲线有特殊性质： 可在空间 (x,y,t) 将方程的积分曲线投影到 (x,y) 平面上。 ;练习题1;作业/Homework/;习题答案/Answer/; 微分方程理论起始于十七世纪末，是研究自然现象强有力的工具，是数学科学联系实际的主要途径之一。 1676年，莱布尼兹在给Newton（牛顿）的信中首次提到Differential Equations（微分方程）这个名词。 微分方程研究领域的代表人物：Bernoulli、Cauchy、 Euler 、Taylor 、Leibniz、Poincare、Liyapunov等。 微分方程理论发展经历了三个过程：求微分方程的解； 定性理论与稳定性理论；微分方程的现代分支理论。