同济六版高等数学下册9-8.pptVIP

§8. 多元函数的极值 四、条件极值与拉格朗日乘数法 小 结 3. 函数的最值问题 作业 练习 解 分析: 得 解 则 解 可得 即 例15. 要设计一个容量为 则问题为求x , y , 令 解方程组 解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 下水箱表面积 最小. z 使在条件 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 的长方体开口水箱, 试问 得唯一驻点 由题意可知合理的设计是存在的, 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省. 因此 , 当高为 思考: 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? 提示: 利用对称性可知, 2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示: 长、宽、高尺寸相等 . 最省, 多元函数的极值 无条件极值的必要条件、充分条件 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 即解方程组 如对二元函数 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 1. 函数的极值问题 2. 函数的条件极值问题 (1) 简单问题用代入法 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法 设拉格朗日函数 如求二元函数 下的极值, 解方程组 第二步 判别 ? 比较驻点及边界点上函数值的大小 ? 根据问题的实际意义确定最值 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 在条件 求驻点 . 多元函数的最值 解答 思考题 P117 3, 5, 9, 10, 13 * * 实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？ 每天的收益为 求最大收益即为求二元函数的最大值. 问题的提出 播放 一、多元函数的极值概念和极值的必要条件 1、二元函数极值的定义 例1 例２ 例３ 提示: 由题设 例4. 已知函数 (D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点. 则( ) 的某个邻域内连续, 且 A (2003 考研) 2、多元函数取得极值的必要条件 证 ， 证毕. 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点（或者临界点）. 驻点 极值点 注意： 且偏导存在 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 驻点: 二、极值的充分条件 证明见 第九节(P121) . 例如.讨论函数 及 是否取得极值. 解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 在(0,0)点邻域内的取值 , 因此 z(0,0) 不是极值. 因此 为极小值. 正 负 0 在点(0,0) 并且在 (0,0) 都有 可能为 极值可疑点 注： 对一阶或二阶偏导不存在的极值可疑点，按 极值定义判定之. 例5. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成 解: 设折起来的边长为 x cm, 则断面面积 x 24 一个断面为等腰梯形的水槽, 倾角为? , 积最大. 为 问怎样折法才能使断面面 令 解得: 由题意知,最大值在定义域D 内达到, 而在域D 内只有 一个驻点, 故此点即为所求. 例6. 求函数 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 的极值. 求二阶偏导数 在点(?3,0) 处 不是极值; 在点(?3,2) 处 为极大值. 在点(1,2) 处 不是极值; 解 求最值的一般方法： 将函数在D内的所有驻点及不可导点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. 与一元函数相类似，我们可以利用多元函数的极值来求多元函数的最大值和最小值. 三、多元函数的最大值、最小值问题 特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 为极小值 为最小值 (大) (大) 解 D的图形，如图, 解 令 无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件. 例10 用一块面积为 12 平方米的铁皮制作一个无盖的长方体形状的水柜,问其长、宽、高各为多少时可使水柜的容积最大? 解设水柜的长、宽、高分别为x，y，z， 则 x y z 最大容积为4. 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽、高