大学数学(高数微积分)第八章λ矩阵第六节(课堂讲义).pptVIP

定理 13 复数矩阵 A 与对角矩阵相似的充分 必要条件是，A 的不变因子都没有重根. 虽然我们证明了每个复数矩阵 A 都与一个若尔 当形矩阵相似，并且有了具体求矩阵 A 的若尔当标 准形的方法，但是并没有谈到如何确定过渡矩阵 T 使 T-1AT 成若尔当标准形的问题. T 的确定牵涉到 比较复杂的计算问题，在这里就不讨论了. 最后指出，如果我们规定上三角形矩阵 为若尔当块，应用完全类似的方法，可以证明相 应于定理 10 ，定理 11 的结论也成立. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 主要内容 第六节 若尔当标准形的初等因子 矩阵的若尔当标准形 矩阵相似的条件 举例 若尔当(Jordan)标准形的理论推导 一、若尔当标准形的初等因子 我们用初等因子的理论来解决若尔当标准形的 计算问题. 首先计算若尔当标准形的初等因子. 设有若尔当块 则其初等因子为 (? - ?0)n . 证明 考虑它的特征矩阵 显然 | ?E - J0 | = (? - ?0)n ，这就是 ?E - J0 的 n 级 行列式因子. 由于 ?E - J0 有一个 n - 1 级子式 所以它的 n - 1 级行列式因子是 1 ，从而它以下各 级的行列式因子全是 1 . 因此，它的不变因子为 d1(?) = … = dn-1(?) = 1 , dn(?) = (? - ?0)n . 由此即得， ?E - J0 的初等因子为 (? - ?0)n . 证毕 下面再来求若尔当矩阵的初等因子. 设 是一个若尔当形矩阵，其中 既然 Ji 的初等因子是 所以 ?E- Ji 与 等价. 于是 与 等价. 因此，J 的全部初等因子是： 这就是说，每个若尔当形矩阵的全部初等因子 就是由它的全部若尔当块的初等因子构成的. 由于 每个若尔当块完全被它的级数 n 与主对角线上元素 ?0 所刻划，而这两个数都反映在它的初等因子 (? - ?0)n 中. 因此，若尔当块被它的初等因子唯一 决定. 由此可见，若尔当形矩阵除去其中若尔当 块排列的次序外是被它的初等因子唯一决定. 二、矩阵的若尔当标准形 定理 10 每个 n 级的复数矩阵 A 都与一个若 尔当形矩阵相似，这个若尔当形矩阵除去其中若尔 当块的排列次序外是被矩阵 A 唯一决定的，它称 为 A 的若尔当标准形. 证明 设 n 级矩阵 A 的初等因子为 其中 ?1 , ?2 , … , ?s 可能有相同的，指数 k1 , k2 , …, ks 也可能有相同的. 每一初等因子 对应 于一个若尔当块 这些若尔当块构成一若尔当形矩阵 根据以上的计算，J 的初等因子也是 因为 J 与 A 有相同的初等因子，所以它们相似. 如果另一若尔当形矩阵 J ? 与 A 相似，那么 J ? 与 A 就有相同的初等因子，因此 J ? 与 J 除了其中 若尔当块排列的次序外是相同的, 由此即得唯一性. 证毕 三、举例 例 1 设 12 级矩阵的不变因子是 ( ? - 1 )2 ( ? + 1 )( ?2 + 1 )2 . 1, 1, … , 1 ,