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一、两向量的数量积 *三、向量的混合积 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、两向量的混合积 §8.2 第二节数量积向量积*混合积 沿与力夹角为 的直线移动, 1. 定义 设向量 的夹角为? , 称 记作 数量积 (点积) . 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 记作 故 2. 性质 为两个非零向量, 则有 ? 3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律 事实上, 当 时, 显然成立 ; 例1. 证明三角形余弦定理 证: 则 如图 . 设 4. 数量积的坐标表示 设 则 当 为非零向量时, 由于 两向量的夹角公式 , 得 例2. 已知三点 ? AMB . 解: 则 求 故 为 ? ) . 求单位时间内流过该平面域的流体的质量P (流体密度 例3. 设均匀流速为 的流体流过一个面积为 A 的平 面域 , 与该平面域的单位垂直向量 解: 单位时间内流过的体积 的夹角为 且 为单位向量 二、两向量的向量积 引例. 设O 为杠杆L 的支点 , 有一个与杠杆夹角为 符合右手规则 矩是一个向量 M : 的力 F 作用在杠杆的 P点上 , 则力 F 作用在杠杆上的力 1. 定义 定义 向量 方向 : (叉积) 记作 且符合右手规则 模 : 向量积 , ? ? 称 引例中的力矩 思考: 右图三角形面积 S＝ 2. 性质 为非零向量, 则 ∥ ∥ 3. 运算律 (2) 分配律 (3) 结合律 (证明略) 证明: 4. 向量积的坐标表示式 设 则 向量积的行列式计算法 ( 行列式计算见 P339～P342 ) 例4. 已知三点 角形 ABC 的面积 解: 如图所示, 求三 一点 M 的线速度 例5. 设刚体以等角速度 ? 绕 l 轴旋转, 导出刚体上 的表示式 . 解: 在轴 l 上引进一个角速度向量 使 其 在 l 上任取一点 O, 作 它与 则 点 M离开转轴的距离 且 符合右手法则 的夹角为? , 方向与旋转方向符合右手法则 , 向径 1. 定义 已知三向量 称数量 混合积 . 记作 几何意义 为棱作平行六面体, 底面积 高 故平行六面体体积为 则其 2. 混合积的坐标表示 设