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【典例】(12分)已知不等式|x+2|-|x+3|m. (1)若不等式有解； (2)若不等式解集为R； (3)若不等式解集为?；分别求出m的范围. 【审题指导】解答本题可以先根据绝对值|x-a|的意义或绝对值不等式的性质求出|x+2|-|x+3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下m的范围. 【规范解答】方法一：因|x+2|-|x+3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(-2)，B(-3)距离的差. …………1分 即|x+2|-|x+3|=|PA|-|PB|. 由图象知(|PA|-|PB|)max=1, ……………………………2分 (|PA|-|PB|)min=-1. ……………………………………3分 即-1≤|x+2|-|x+3|≤1. (1)若不等式有解,m只要比|x+2|-|x+3|的最大值小即可，即m1; ………………………………………………………6分 (2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立,m只要比|x+2|-|x+3|的最小值还小，即m-1; …………………………9分 (3)若不等式的解集为?，m只要不小于|x+2|-|x+3|的最大值即可，即m≥1. …………………………………………12分 方法二：由|x+2|-|x+3|≤|(x+2)-(x+3)|=1, …………1分 |x+3|-|x+2|≤|(x+3)-(x+2)|=1， ………………………2分 可得-1≤|x+2|-|x+3|≤1. ………………………………3分 (1)若不等式有解，即m1. ………………………………6分 (2)若不等式解集为R，即m-1. …………………………9分 (3)若不等式解集为?，即m≥1. …………………………12分 【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下: 【即时训练】(2011·太原模拟)设函数f(x)=x2-2x+3, g(x)=x2-x. (1)解不等式|f(x)-g(x)|≥2 011; (2)若|f(x)-a|2恒成立的充分条件是1≤x≤2，求实数a的取值范围. 【解析】(1)由|f(x)-g(x)|≥2 011得|-x+3|≥2 011,即 |x-3|≥2 011，所以x-3≥2 011或x-3≤-2 011，解得x≥ 2 014或x≤-2 008. (2)依题意知：当1≤x≤2时，|f(x)-a|2恒成立，所以当1≤x≤2时，-2＜f(x)-a＜2恒成立，即f(x)-2af(x)+2恒成立. 由于当1≤x≤2时，f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2的最大值为3，最小值为2，因此3-2a2+2，即1a4,所以实数a的取值范围为(1,4). 1.若条件p:|x+1|≤4,条件q:x25x-6，则﹁p是﹁q的( ) (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 【解析】选A.由p:|x+1|≤4得-4≤x+1≤4即-5≤x≤3.又q: 2x3,∴﹁p为x3或x-5,﹁q为x≥3或x≤2.∴﹁p ﹁q,而 ﹁q?﹁p. ∴﹁p是﹁q的必要不充分条件. 【规范解答】(1)方法一:如图,设数轴上与-1,1对应的点分别为A,B,那么A,B两点间的距离为2,因此区间［-1,1］上的数都不是不等式的解.设在A点左侧有一点A1到A,B两点的距离和为3,A1对应数轴上的x. 所以-1-x+1-x=3,得x= 同理设B点右侧有一点B1到A,B两点的距离和为3，B1对应数轴上的x, 所以x-1+x-(-1)=3. 所以x= 从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3， 所以原不等式的解集是(-∞, ］∪［ ,+∞). 方法二:当x≤-1时,原不等式可以化为 -(x+1)-(x-1)≥3, 解得x≤ 当-1＜x＜1时,原不等式可以化为 x+1-(x-1)≥3,即2≥3.不成立,无解. 当x≥1时,原不等式可以化为 x+1+x-1≥3.所以x≥ 综上,可知原不等式的解集为{x|x≤ 或x≥ }. 方法三:将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0. 构造函数y=|x+1|+|x-1|-3,即 作出函数的图象.(如下图) 函数的零点是 从图象可知当x≤ 或x≥ 时, y≥0. 即|x+1|+|x-1|-3≥0. 所以原不等式的解集为(-∞, ］∪［ ,+∞). (2)方法一:|x|与|x-3|可以看作是数轴上的点x到0和3两点的距离,因此,不等式的几何意义是数轴上到0和3两点的距离之和不超过5的x的范围,结合数轴易得出-1≤x≤4,所以原不等式的解集为［-1,4］. 方法