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第22课　特殊三角形 基础知识 自主学习 1．等腰三角形： (1)性质： 相等， 相等，底边上的高线、中线、 顶角的角平分线“三线合一”； (2)判定：有两边相等、两角相等或两线合一的三角形是等腰 三角形． 2．等边三角形： (1)性质： 相等，三内角都等于 ； (2)判定：三边相等、三内角相等或有一个角是60°的等腰三 角形是等边三角形． 3．直角三角形：在△ABC中，∠C＝90°. (1)性质：边与边的关系：(勾股定理)a2＋b2＝ ； (2)角与角的关系：∠A＋∠B＝ ； (3)边与角的关系： 若∠A＝30°，则a＝c，b＝c； 若a＝c，则∠A＝30°； 若∠A＝45°，则a＝b＝c； 若a＝c，则∠A＝45°； 斜边上的中线m＝c＝R.其中R为三角形外接圆的半径． (4)判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形 的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三 角形；如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么 这个三角形是直角三角形． [难点正本　疑点清源] 1．等腰三角形的特殊性 “等边对等角”是今后我们证明角相等的又一个重要依据．“等 角对等边”可以判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明 两条线段相等的重要依据． 等边三角形是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角 形，等边三角形拥有等腰三角形的所有性质，但不分顶角、底角、 腰、底边．因为等边三角形任何一个角都为60°，任何一条边都 可看做腰或底边． 解答等腰三角形的有关问题时，常作辅助线，构造出“三线合 一”的基本图形．在添加辅助线时，要根据具体情况而定，表达辅 助线的语句，不能限制条件过多，如一边上的高并且要平分这条 边；作一边上的中线并且垂直平分这条边；作一个角的平分线并 且垂直对边等等，这些都是不正确的． 2．直角三角形的特殊性 直角三角形是重要的基本图形之一，它的特征和识别应用非 常广泛，把勾股定理运用到实际生活中解决实际问题，常常渗透 着数形结合、方程思想． 在利用勾股定理时，一定要看清题中所给的条件是不是直角 三角形，所给的边是直角边还是斜边，如果题目无法确定是直角 边还是斜边，则需要分类讨论．勾股定理的逆定理是把数转化为 形，是通过计算判定一个三角形是否为直角三角形． 实际问题可根据实际情况转化为直角三角形去解，图中无直 角时，可通过添加辅助线来构造直角三角形．若图形中有特殊 角，如30°、45°、60°的角，在作辅助线时，要注意保留其完 整性，以便应用特殊三角形的性质． 基础自测 1．(2011·济宁)如果一个等腰三角形的两边长分别是5 cm和6 cm，那么此三角形的周长是(　　) A．15 cm B．16 cm C．17 cm D．16 cm或17 cm 答案　D 解析　这个三角形的周长是5＋5＋6＝16或6＋6＋5＝17. 2．(2011·铜仁)下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是(　　) A．等腰三角形两底角相等 B．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互 相重合 C．等腰三角形是中心对称图形 D．等腰三角形是轴对称图形 答案　C 解析　等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形． 3．(2011·芜湖)如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°， F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为(　　) A．2 　　　B．4 C．3 　　　D．4 答案　B 解析　在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，可得AD＝BD，易证△BDF≌△ADC，所以DF＝CD＝4. 5．(2011·鸡西)如图，在Rt△ABC中，AB＝CB，BO⊥AC，把△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后，折痕AD交BO于点F，连结DE、EF.下列结论： ①tan∠ADB＝2； ②图中有4对全等三角形； ③若将△DEF沿EF折叠， 则