山西太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第13章根轴.docVIP

第13章 根轴 定义 从一点作一圆周的任一割线，从点起到和圆周相交为止的两线段之积，称为点对于这个圆周的幂． 由相交弦定理及割线定理，知点的幂是定值．若点在圆内，则点的幂等于以该点为中点的弦半弦长的平方；若点在圆外，则点的幂等于从该点所引圆周的切线长的平方；若点在圆周上，则点的幂等于0． 由定义，关于圆周的幂有下列结论． 结论1 点对于以为圆心、以为半径的圆周的幂，等于及半径的关系式． 结论2 对于两已知圆有等幂的点的轨迹，是一条过连心线上一定点且垂直连心线的直线． 事实上，设点到圆和圆的幂相等，圆，圆的半径分别为，（），则，即 如图13-1，设的中点为，于点，则 易得 所以，过定点的垂线即是两圆等幂点的轨迹． 这条直线称为两圆的根轴或等幂轴． 特别地，若两圆同心，则．从而，同心圆的根轴不存在；若，圆变成一点，则点对于圆的幂是．此时，直线（轨迹）称为一圆与一定点的根轴． 根轴有下面的性质． 性质1 若两圆相交，其根轴就是公共弦所在的直线． 性质2 若两圆相切，其根轴就是过两圆切点的公切线． 性质3 三个圆，其两两的根轴或相交于一点，或互相平行． 事实上，若三条根轴中有两条相交，则这一交点对于三个圆的幂均相等，所以必在第三条根轴上，这一点，称为三个圆的根心． 显然，当三个圆的圆心的一条直线上时，三条根轴互相平行．当三个圆的圆心不共线时，根心存在． 性质4 若两圆相离，则两圆相离，则两圆的四套公切线的中点在根轴上． 性质5 一点对于不同心两圆、的幂为，，是这两圆的等幂轴，于，则．即一点对于不同心两圆的幂之差等于等幂轴到该点的距离乘以圆心距之积的2倍． 证明 设于，作于，便得 推论 若两圆不同心，则其中一个圆的任何点对于另一圆的幂的绝对值，必等于该点到等幂轴的距离乘以圆心距之积的2倍． 即若点在上，则，此时． 下面给出运用上述性质解题的例子． 例1 （IMO50预选题）已知的内切圆分别与边，切于点，，与交于点，点，满足四边形和四边形式平行四边形．证明：． 证明 如图13-3，设的内切圆和内的旁切圆分别为圆和圆，圆和圆与边分别切于点，，圆与直线，分别切于点，． 由，得，． 因此，对于点，，它们到点的距离等于它们向圆所引的切线段的长．从而，是点圆和圆的根轴． 同理，是点圆和圆的根轴． 于是，与的交点为圆，圆，圆的根心．所以． 例2 （2007年第45届越南数学奥林匹克题）已知下底边为（即，且）的梯形内接于．是在直线上移动的点，且使得不与相切．以为直径的圆交于点，记与交于点，是与的交点（）．求证：直线通过一定点． 证明 如图13-4，记关于的对称点为． 下面证明：、、三点共线，也就是直线通过定点． 记以为直径的圆为，以为直径的圆为，注意到，则直线、分别为与，的根轴． 记以为直径的圆为，以为直径的圆为，注意到，则之心啊、分别为与，的根轴． 记与直线交于点，由，知，而，于是，知点在圆上，从而，直线是、的根轴． 由根心定理，知三个圆、、的根轴、、交于点．因此，、、三点共线． 例3（2009年美国数学奥林匹克题）如图13-5，设圆和交与点、．过的圆心的直线交圆于点、，过的圆心的直线交于点、．证明：若、、、四点共圆，则该圆的圆心在直线上． 证明 设、分别为圆、的圆心，联结，过作的垂线，过作的垂线，设与交于点．记过、、、的圆为，则为的圆心． 注意到、、分别为圆与，圆与，圆与的根轴．于是，直线、、共点，设为（当、、两两平行时，视为无穷远点）． 由知． 同理，． 于是，知为的垂心（当为无穷远点时，在所在直线上）． 因此，． 又为上一点，而．故在直线上． 例4（2006年第19届韩国数学奥林匹克题）在中，，的内切圆与，，的切点分别为，，．记与的不同于点的交点为，过点作的垂线交于点，，分别是与直线，的交点．求证：是线段的中点． 证明 如图13-6． 记过点且平行于的直线与过点且垂直的直线交点为，直线与的交点为，直线与的交点为． 由，知，，，共线． 由，知． 又，知，，，，五点共圆．记此圆为． 由，知，，，四点共圆，记此圆为． 由根轴性质3，知，圆，圆两两相交的根轴，，交于点，而之间与相交于，从而与重合． 于是，由，有，即知． 由，有，即知． 注意懂啊，故，即是线段的中点． 例5（2007年第45届越南数学奥林匹克题）已知下底边为（即，且）的题型内接于．是在直线上移动的点，且使得不与相似．以为直径的圆交于点，记与交于点，是与的交点（）．求证：直线通过一定点． 证明 如图13-7，记关于对称的点为． 下面证明：、、三点共线，也就是直线通过顶点． 注意到直线是和以为直径的圆（记为圆）的根轴，由于，因此直线是和以为直径的圆（记为圆）的根轴． 记与直线交于点，由，得，而，于是，知点在圆上，从而，直线是圆和的根轴． 由根轴定理，知三个圆，，的根轴，，交于根心．