山西太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第21章共边比例定理共角比例定理.docVIP

第21章 共边比例定理 共角比例定理 共边比例定理若两个共边的三角形，的对应顶点，所在直线与交于，则． 证法1由同底三角形的面积关系式，有，． 由上述两式相加即证得图21-1中（1）、（2），上述两式相减即证得图21-1中（3）、（4）情形． 证法2不妨设与不同，则 ． 证法3在直线上取一点，使，则，． 所以，． 共角比例定理若与相等或互补，则有 （或） 证明把两个三角形拼在一起，让的两边所在直线与的两边所在直线重合，如图21-2所示，其中图（1）是两角相等的情形，图（2）是两角互补的情形，两情形下都有 共角比例定理的推广与相等或互补，点在直线上且不同于，点在直线上且不同于，则 证明不妨设，，，共线如图21-3，则 共角比例不等式如果，而且两角之和小于，则 （或）． 证明记，． 如图21-4，作一个顶角为的等腰，延长至，使，则．由共角比例定理，有 共角比例逆定理在和中，若，则与相等或互补． 证明用反证法．假设，不相等也不互补，不妨设．这时有两种情形： ． 若，由共角比例不等式，得 这与题给条件矛盾． 若，如图21-5，延长至，使，延长至使．这时，，而且 由共角比例不等式，得 但由共边比例定理，知 ， 且， 故上述不等式，即为 这也与已知题给条件矛盾． 从而假设，不相等也不互补不成立． 故与相等或互补． 下面给出应用上述定理证明问题的例子． 例1（1999年全国高中联赛题）在四边形中，对角线平分．在上取一点，与相交于点，延长交于．求证：． 证法1如图21-6，在中，对割线应用梅涅劳斯定理，并注意到共边比例定理，有 ． 于是， 证法2如图21-6，对及点应用塞瓦定理（令交于点），并注意到共边比例定理， 有 （以下同证法，略） 例2（2003年全国高中联赛题）过圆外一点作圆的两条切线和一条割线，切点为，，所作割线交圆于、两点，在、之间，在弦上取一点，使么． 求证：． 证明如图21-7，设，． 在中，由正弦定理，有． 过、分别作于，作于，注意到共边比例定理，有 ． 又 ，则． 于是，．故． 例3（2009年国家集训队测试题）如图21-8，在凸五边形中，与相交于，与相交于，与相交于，与相交于，与相交于．设、、、、分别为与、与、与、与、与的交点．求证： ． 证明由共边比例定理，有 ． 其他的线段比例用同样的方法（共边比例定理）转化，即只需证明 ① 由于． 用同样方法转化面积比，并消去上下相同的线段．因而只需证明有 或 ． ② 利用正弦定理，②式等价于： ． ③ 而③式显然成立，故结论获证． 例4（2010年北方数学邀请赛题）已知是的内切圆，、、分别为、、上的切点，联结并延长交于点，联结并延长交于点．求证：是的中点． 证明如图21-9，联结，，由、、、及、、、分别四点共圆有，． 由共边比例定理，有 ， 及 ． 于是， ． 故是的中点． 例5（2010年国家队选拔赛题）在锐角中，，是的中点，是内一点，使得．设、、的外心分别是、、．证明：直线平分线段． 证明如图21-10，联结、、、、，设直线与线段交于点． 由共边比例定理，有 ． 又， ， 即 ． 于是 ． 故直线平分线段． 例6在完全四边形中，若直线与直线交于点，直线分别交，于，．则 ，，． 证明如图21-11，由共边比例定理，有 ． ． ． 注：（1）对于等的证明， 也可由 ． （2）上述（1）的证明是对凸四边形而言的，对下述的凹四边形，折四边形，按上述叙述则证得了上图中的，． （3）上述证明是由出发，也可从下述等式出发： ， ，． 例7（梅涅劳斯定理）设，，分别为的三边、、所在直线上的点，若、、三点共线，则． 证法1如图21-13，联结，．由共边比例定理，有， ，． 上述三式相乘即证得结论． 证法2如图21-13．在直线上任取不重合两点、，由共边比例定理，有 ，即证． 例8（塞瓦定理）在的三边、、所在直线上取点，和，则，，三直线共点的充要条件． 证明必要性．如图21-14． 由共边比例定理，有 ． 充分性．若有，如图21-15，设和交于点，和交于点，要证明的是和重合，也就是有． 由共边比例定理，有 ，即证． 例9（牛顿线定理）完全四边形的三条对角线的中点共线． 证法1如图21-16，在完全四边形中，、、分别为对角线，，的中点． 设直线交于，下证与重合即可，即证为的中点即可． 由共边比例定理有 即证 注：（*）． （**） ． 证法2如图21-17，同证法1，证为的中点即可． 过，，，分别作直线的平行线交于点，，，．由共角比例定理及平行线的性质，有 ， ， ， ． 注意到为的中点，也为的中点，知，． 以上四式相乘并化简得，即． 亦即，亦即．于是，． 从而．又，故为的中点，由此即证得结论． 证法3（张景中证法） ． 即知，