山西太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第28章戴沙格定理.docVIP

第28章戴沙格定理 戴沙格定理已知两个三角形的三双对应顶点的连线交于一点，若它们的三双对应边分别相交，则这三个交点在一条直线上．其逆命题亦成立． 证明先证原命题：设和的三双顶点的连线、、交于点，它们的三双对应边的交点分别是、、．分别对及截线、及截线、及截线应用梅涅劳斯定理 有， ， ． 将上述三式相乘， 得． 对逆用梅理劳斯定理，即知、、三点共线． 再证逆命题：设与的三双对应边的交点分别是、、，两双对应顶点的连线与交于点，要证第三双顶点对应连线也通过点，即、、三点在一条直线上． 事实上，与的三双对顶点连线、、交于点，利用已证得的原命题可以得到：这两个三角形三双对应边交点的连线中，与的交点、与的交点、与的交点是在同一条直线上．这就是所要证的． 在这里，若两双对应顶点的连线与平行，则可证得直线也与平行，否则若有直线与交于一点，则由上述逆命题中同样的理由，得直线也过点，与与平行矛盾． 于是，我们便有如下结论： 戴沙格定理的逆定理若两三角形的对应边（所在直线）交点共线，则对应顶点的连线交于一点或互相平行． 观看图中的两个三角形、，我们可以用透视的观点看待它． 一般地，有如下的定义： 定义平面上两个图形称为互相透视的，如果（i）联结对应点的直线交于一点，称为透视中心．（ii）对应线的交点在一条直线上，称为透视轴． 如上定义的一种特殊情形，即为对应边互相平行的相似形，这时透视轴是无穷远直线，透视中心是位似中心，更一般的透视图形的存在性，由戴沙格定理建立． 戴沙格定理设两个三角形有透视中心，则它们有透视轴． 反过来，设两个三角形有透视轴，则它们有透视中点． 对于三个三角形，我们有如下的结论： 定理1设三个三角形有公共的透视中心，则它们的三条透视轴共点． 事实上，设三个三角形、、，则、、为共点的直线．我们将三角形的边用与所对顶点相同的小写字母表示，考虑边为、、与、、的三角形，它们的对应边相交于共线点、、，所以对应顶点的连线共点．但联结、的交点与、的交点的直线，是与的透视轴，等等．所以这三条轴共点． 定理2设三个三角形两两互为透视，并且有一条公共的透视轴，则它们的透视中心共线． 这个定理及各种逆定理的证明较易，留给读者． 对于完全四边形，我们也有如下的结论： 定理3边是一个完全四边形的边的每一个三角形，与这个完全四边形的对角三角形成透视． 事实上，这两个三角形以完全四边形的第四条边为透视轴． 更一般地，设一个完全四边形的两条对角线的交点与剩下的两个顶点相连，则这样的六条连线中，三条交于一点，产生四个新点，因而形成一个完全四角形（即包括四条边，两条对角线的图形）．于是，每个完全四边形必有一个相伴的完全四角形，具有同样的对角三角形；反过来也成立．过这完全四边形的每个顶点，有完全四角形的一条边，这完全四角形的每一个三角形，与完全四边形的一个三角形及对角三角形成透视，公共的透视中心是完全四角形的第四个顶点，透视轴是完全四边形的第四条边． 下面，看看戴沙格定理的一些应用． 例1（1999年高中联赛题）如图，在四边形中，对角线平分，在上取一点，与交于点，延长交于．求证：． 证明当时，四边形是筝形，结论成立． 当时，过作的垂线与、的延长线分别交于点、． 由，可证、的交点在上．注 在与中，因与的交点为，与的交点为，与的交点为，且、、共线，则由戴沙格定理的逆定理知、、三线共点．设该点为． 设与交于点，在完全四边形中，、调和分割．从而、、、为调和线束，而．故平分． 于是． 注：设与交于点，只要证、、三点共线即可． 连，，作于交于，作于，交于． 由及平分，易知， 有．① 又由， 有．② 中．③ 由①、②、③可得, 而，则． 从而．故、、共线，即、、共线． 例2（布利安香定理）六点连线所组成的平面封闭图形中，若六条边与一个圆内切，则它的三条对角线共点或彼此平行． 证明如图，设、、、、、是六边形在圆上的切点，由牛顿定理知．过切点、、、的四边形有、、共点于；过切点、、、的四边形有、、共 点于；过切点，、、的四边形有、、共点于；过切点、、、的四边形有、、共点于． 又折四边形有旁切圆，由牛顿定理的推广（见第29章定理2）有、、、共点于．所以和对应边的交点、、共线，由戴沙格定理的逆定理，知其对应顶点的连线、、三点共点或相互平行，即、、共点或相互平行． 例3（2008年印度国家队选拔考试题）设是非等腰三角形，其内切圆为，圆与三边、、分别切于点、、．若、、分别与、、交于点、、，、、的中点分别为、、．证明：、、三点共线． 证明如图，设、、的中点分别为、、，则，且直线过点；．且直线过点；，且直线过点． 因，则知平分．同理，、分别平分、，且、、交于的内心． 在和中应用戴沙格定理得，其对应边与、与、与的交点、、三点共线． 例4（2003年保加利亚数学奥林匹克题）设是锐角的高线上的任一点，直