山西太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第31章曼海姆定理.docVIP

第31章曼海姆定理 曼海姆定理一圆切的两边、及外接圆于点，，，则必通过的内心（还可证内心为的中点）． 证法l如图，设已知圆与的外接圆的圆心分别为，，的中点为，则，，三点共线． 设直线交于点，注意到、、共线，记过点的直径的另一端点为，则由相交弦定理，有．① 由，，有．② 注意到，①②得．③ 作的直径，由，有． 由③、④，并注意，知． 又为弧的中点，于是，知为的内心，且在上． 证法2如图，设过点，，的圆交直线于点，交直线于点，则由 （为与的交点），知． 设直线交于点，则知为的中点（读者可自证或参见下面的证法4）． 同理，知为的中点，从而的内心为与的交点． 又由，知． 由，知． 于是，知与位似，且为位似中心．故在直线上． 证法3同证法1所设，延长交于点，则平分及弧．设，分别为，，的半径．此时，点关于的幂为 ， 且， 则． 设交于，则 于是，由三角形内心的判定．知为的内心且在直线上． 证法4如图，设直线交的外接圆于点，联结，则点平分（也可这样证：过点作公切线， 由， 有．) 设直线交的外接圆于点，同理，知平分． 在圆内接六边形中，应用帕斯卡定理，知三双对边与的交点，与的交点，与的交点三点共线，而为为内心，则知内心在上．（若注意到，的平分线交于其中点，即知为中点．） 下面给出定理的应用实例． 例l（《数学通报》数学问题1163）已知与内切于点，上的任意一点，弦，切于，，弦过且交于，交于． 求证：． 证明如图31-2，联结，由曼海姆定理，知为的内心，从而． 由，知． 亦有 ． 从而． 故． 例2（2003年土耳其数学奥林匹克题）已知一个圆与的边，相切，也和的外接圆相切于点．若是的内心，证明：． 证明当时，结论显然成立，不妨设． 如图，过点作公切线，设已知圆圆心为，它与边，分别切于点，． 由曼海姆定理，知在上，且为中点． 显然，，三点共线，联结，，，则，且． 从而，，即有． 注意：到 ． ． 故． 例3（2004年中国国家集训队培训题）设与的外接圆内切并与边、相切的圆为，记为圆的半径，类似地定义，．是的内切圆的半径，证明：． 证明如图，设圆上与，分别切于点，，由曼海姆定理知的内心在上，即的中点为其内心．设的圆心为，则 同理， ． 同理，，． 注意到， 即． 因此， ． 故． 例4（2006年亚太地区数学奥林匹克题）从上任取，两点，为线段的中点，与相切于点且与相切．过点作不同于的的切线，点是与的不同于点的交点，设的的中点，与相切于点且与线段相切．求证：与相切． 证明如图，设，分别与直线（即弦）相切于点，，则由曼海姆定理知的中点为的内切圆圆心，从而点在的平分线上． 延长交于于点，则为优孤的中点．令与内切于点，由圆与圆相切的性质5知，、、共线，从而知为优弧的中点．设与交于点，联结，． 由，知． 于是．有① 联结、、，由，知，即有 ， 以及． 于是，有．② 由①②知， 即知为线段的中点． 从而，以为圆心，为半径的圆过点，且．即切于点． 故知与重合，即与内切于点． 下面再看定理的演变及应用． 例5(试题)在中，边，有一个圆内切于的外接圆，并且与，分别相切于，．求证：，两点连线的中点是的内切圆圆心． 显然，这是曼海姆定理的特殊情形．该定理的4种证明都可移过来证明该题，下面，另给一种特殊证法． 证明如图，设已知圆与的外接圆内切于点，交于点，交于点．显然，在直线上，且为的中点． 考虑以为中心的位似变换，以为圆心的圆经过位似变换后变为的内切圆．因此，只需证明的像是即可，亦即证即可． 事实上，这由即得． 若考虑定理的逆命题，则有 例6（1992年台湾地区数学奥林匹克题）如图，设是的内心，过作的垂线分别交边，于点、．求证：分别与、相切于点，的圆必与的外接圆圆相切． 证明延长交圆于，设圆的半径为，则点对圆的幂为． 于是， ． 因为 ， 所以． 从而，．因此，圆与圆相切． 下面，考虑定理的推广，则有 例7如图，设为的边上一点，一圆切的边，分别于，点，又与的外接圆内切于点，则必通过的内心． 显然，当与重合时，此例即为曼海姆定理． 证明设直线，分别交的外接圆于，，过作公切线，如图6． 由，知． 联结，分别交已知小圆于，亦可证，即知，从而推知为的中点．亦即平分．设直线交于点． 由，知．从而，．① 由，知，，，四点共圆． 设直线交圆于，则，于是，注意到可证得平分，有，由弦切角定理的逆定理，知与相切． 于是，． 由①，②知．由内心的判定结论知为的内心，且在上．故必通过的内心．（为上一点时，同样可证结论成立．） 例8（2007年中国国家集训队测试题）凸四边形内接于圆，与边相交的一个圆与圆内切，且分别与，相切于点，．求证：的内心与的内心皆在直线上． 证明如图，设与交于点． 对而言，在上，已知圆与，分别切于点，，由例6的结论，知的内心必在直线上． 同理，的内心必在直线上． 注：在