2721 数学分析讲义 广义积分.pdf

数学分析讲义 第四章 广义积分 在讲述定积分时，我们用到了两个定积分中的限制条件，它们是： 1. 积分区间是有界的； 2. 函数是有界的。 这两个条件在定义Riemann定积分以及讨论其存在性时都是十分关键的，比如说，函数 有界这一条件是Riemann定积分存在的必要条件。这一章里，我们就来讨论将这两个条件放 松，是否存在类似于Riemann定积分的量存在，这就是无穷积分和瑕积分。 §1 无穷积分及其判别法 1 无穷积分之定义 1 例 1：求函数y 在区间 a, A 上与x 轴所围部分的面积。 2 x A 1 1 1 解：由面积的定义，我们知：S dx 。 a x 2 a A 1 上述面积公式对于任意的闭区间 a, A 均成立，并且当A 时，该面积有极限 ， a 因而可以将面积的概念推广至 a, 上的面积。这一想法可以推广到任意函数f x 在 a, 上的 “积分”的定义： A 定义1：若函数f x 在 a, A 上Riemann 可积，并且极限lim f x dx 存在且 A a 等于有限值。则称该极限为函数f x 定义在 a, 上的无穷积分，记 A 作： f x dx lim f x dx 。 a A a 这时也称无穷积分 f x dx 收敛，否则称 f x dx 发散。 a a a 同样我们可以定义 f x dx 的收敛性。 a 附注：若 f x dx 与 f x dx 均收敛时，称 f x dx 收敛且 a a A f x dx f x dx f x dx lim f x dx 。