高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.3 幂函数名师导航学案 苏教版必修1.docVIP

3.3 幂函数 名师导航 知识梳理 1.幂函数的概念 定义：形如___________的函数叫做幂函数，其中___________是自变量，___________是常数. 注意：在这里我们只讨论α为有理数时的简单的幂函数.虽然y=x、y=x2是幂函数，但并不是所有的一次函数、二次函数都是幂函数，如：y=x+1、y=2x2+1、y=x-1、y=x2+2x、y=2x都不是幂函数，它们并不满足幂函数的定义，但它们是与幂函数相关联的函数，它们是由幂函数与常数经过算术运算得到的. 2.幂函数的定义域 幂函数的定义域就是使幂函数有意义的实数x的集合. 如果幂函数的指数是常数，则幂函数的定义域较好求，若是给 出字母指数，应分四种情况讨论y=xn的定义域. (1)当指数n是正整数时，y=xn的定义域是___________. (2)当指数n是正分数时，设n=(p、q是互质的正整数，q1)，则xn=. 如果q是奇数，y=xn的定义域是_____________； 如果q是偶数，y=xn的定义域是_____________. (3)当指数n是负整数时，设n=-k，则xn=. 显然x≠0，y=xn的定义域是. (4)当指数n是负分数时，设n=-(p、q是互质的正整数，q1),则xn=. 如果q是奇数，y=xn的定义域是_____________； 如果q是偶数，y=xn的定义域是_____________. 3.幂函数的图象 描绘幂函数的图象：依幂函数的定义域先列出对应值表，再用描点法作图.列出对应值表是描点法的关键. 例如，画出函数y=x-2，y=的图象. y=x-2定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)(图(1)), x … -3 -2 -1 - 1 2 3 … y=x-2 … 1 4 4 1 … y=定义域为(0,+∞)(图(2)). x … 1 4 … y= … 4 3 2 1 … (1) (2) 4.幂函数的性质 当n0时，幂函数y=xn有下列性质： (1)图象都通过点(0，0)，(1，1)； (2)在第一象限内，函数值y随x的增大而增大. 当n0时，幂函数y=xn的性质： (1)图象都过点(1，1); (2)图象以直线x=0，y=0为渐近线; (3)在第一象限内的图象是下降的，即函数值y随x的增大而减小; (4)x∈(0,1)时，n越大曲线越靠近y轴,x∈(1,+∞)时，n越小曲线越靠近x轴. 疑难突破 1.幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x-1的性质是什么？ 幂函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 定义域 R R R ［0,+∞) {x|x∈R且x≠0} 值域 R ［0,+∞) R ［0,+∞) {y|y∈R且y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x∈［0,+∞)时,增;x∈(-∞,0)时,减 增 增 x∈(0,+∞)时,减; x∈(-∞,0)时,减 过定点 (1,1),(0,0) (1,1),(0,0) (1,1),(0,0) (1,1),(0,0) (1,1) 2.当n取不同的有理数时，幂函数y=xn的定义域怎样？ 当n∈N*时，定义域为R； 当n=0时，定义域为{x|x≠0}； 当n为负整数时，定义域为{x|x≠0}； 当n=(p、q∈N*,q1且p、q互质)时， ①若q为偶数，则定义域为［0,+∞)； ②若q为奇数，则定义域为R； 当n=-(p、q∈N*,q1且p、q互质)时， ①若q为偶数，则定义域为(0,+∞)； ②若q为奇数，则定义域为{x|x≠0}. 问题探究 问题1 幂函数与指数函数有何不同？ 探究思路：虽然幂函数和指数函数的表达式都是指数式的形式，但二者的定义域不同，即指数函数y=a2中，指数是自变量，而幂函数y=xα中，底数是自变量.当然，由此可见，二者的对应关系和值域也不同. 问题2 分数指数幂可以与根式相互转化.把下列各函数先化成根式形式，再指出它的定义域和奇偶性.利用几何画板画出它们的图象，观察它们的图象，看有什么共同点. (1)y=；(2)y=；(3)y=；(4)y=. 探究思路：先将各式化为根式形式： (1)y=；(2)y=；(3)y=；(4)y=. 函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x的集合；奇偶性直接利用定义进行判断. (1)的定义域为[0，+∞)，(2)(3)(4)的定义域都是R；其中(1)既不是奇函数也不是偶函数，(2)(4)是奇函数，(3)是偶函数.它们的图象都经过点(0，0)和(1，1)，且在第一象限内函数图象自左而右呈上升趋势，即