关于有限域中各向异性角的极值问题-基础数学专业毕业论文.pdfVIP

1 前言 牡.1 背景 1卯7 年 v 毗 crel 二aerde。提 出关于等差数列 的重要定理 }环 设 h .k c N 十.则存在 N 〔N 十:使得如果把 {1:2，… :N } 分成 人个子集，则至少有一个子集包含一个长度为 k 的 等差数列. 在此基础上 :万r面3 和 T 。云。于 1936 年提 出了一个关于等差数列的重要猜想 冈.他 们认为在任何一个足够稠密 的整数集 中:都可 以找 到一个长度为 双人 〔N +) 的等差数列. 显然.这个猜想蕴含 v al ‘介: 二aerd。歌定理. 1953 年 R otl :用 尸。。.eir 分析 的方法证 明了 当 k 二3 时猜想是正确 的 []s :直到 1975 年 。、lb.di，才运 用组合方法证 明了一般情 形 下 (无 〔N 十) 及.dd 卜T.l，滋。猜想 的合理性 这‘就是著名 的 决 。川。之·成定理 四:设 天任N 十，占 。. 则存在 N 任N 十. ，:t 如果集合 。‘g {l.2… … }.}川 之吞万 则 二。中包含一个长度为 介的等 差数列.其 中 A 为有 限集 ，用 }川 表示集合 J飞中所含元素个数. 正是 由于 决 。171。·(.l(乞定理 的重要性和其证 明过程 的复杂性 .数学工 作者 们从未停止对 它 的研 究. 1977 年，F 加时。况叨 用遍 历理论给 出 了 段 。，:二州滚定理 的另一种证 明 !5} 并且 得 到 了 S :。。er色成 定理 的许 多 自然推广. 但是 .S’:。既沁cIi 的证 明方法给 t一匕的上 界 很弱 . 而 F 云。加。be叨 的证 明根本没有给 出上界 直到 么”1年 1.1’了.口。。、。了。才通过组合与 F 。。，沂·。r 分 析的方法得到这个定理 的最好量化结果 }叶 设 百 。对子 k 全4.存在N 全二p二P( ‘’一‘勺 (其 中 C .K 。是绝对常数):使得如果集合 A 互 {l、2. … N }.}一 全占N 则 A 中包含一个长度 为 k 的等差数列. 此后，运用组合和 F 口。祀r 分析方法研究高维的 Sz erl ，‘之dti定理成为很多学者研究的 一个重要方 向. 其 中，两维 的 s ;。。er色di 定理 的研 究成 果最 为丰富. 2)(似 年 .5}之kt.献 口。在 [vl 中估计 了以有限群 寿 为背景的两维角 ((x.功，(x + d.川.(二.，十必).d 务o 的个数 ·他得 到的主要结果是 :设 占 。，存在 N 全。xP e冲exl，(占一勺(其 中 c 。是绝对常数).使得如果 集合 A g {1.2，一 N } “:1川 全吞N “则 A 中包含有 “二.3)j.(二十d.功.(二.夕一卜d)) 其 中 d 并(). B .价 een 在 同网 中以有限域 玲 为背景估计 了两维角的个数并简化 了 泞hk 二do : 的证 明过程:他得出了电岭):而耀耘 ·其中越侧) “~ 洲 :AgF: “岭A 中不含非 平凡角 }. 2010 年 :我们依照 B.G re。 {8} 的思路把 F 彗 构 一随机二象性原理将 fll 中的结果改进为 粉 (嵘) ‘ 黑默 …且通一“个明确的结 仕.2 预 备知识与主要结论 设 P 表示素数集.尹任P .巧 全z加2 .设 。任N .n 1?记 巧 上的 。维 向量空间为 嵘 · 取定嵘的一组基俩旬·…· ‘}:则V了〔嵘丑升任岭 三‘三‘?t 巳tx. 一恶丸你简记为 二一(x，.l2f.·…司，记万 “护·则}岭{一Jv.设”B·为两个有限集，记 ‘(一 “月喋黔 ·以 H 三嵘 表示 H 是 岭 的子空间 · 定义 L l 对于 x.梦(ll ·心 〔嵘 ·称 ((: ·u). (二一卜dl ·u). 仁 ; 一卜心)) 为 嵘 上 的一个角 (oc 1n’州 . 当 dl 心‘ 均 非零 ，且 dl 二 dZ 时 :称此 角为各 向同性 的角. 当 dl.由 均 非零 . 且 dl 尹心 时.称此角为各 向异性 的角. 当 d，二心 二0 时 :称此角为平凡角， 另 :各 向同性 角与各 向异性 角又统