株州冶金数模讲义_65539.doc

第1章 数学模型原理 1.1 数学模型的定义与要素 1.1.1 定义 所谓数学模型，就是事物的特征与属性，事物发展变化过程与规律以及人们选优过程的数学表示。 数学模型的常见形式，一个或几个方程式，按照数学的观点，一个完整的数学模型，还需要包括相应的约束条件即初始条件和边界条件等。 例子1： 设长度为L的均匀截面的杆件插入绝热介质中，如果杆件的平均温度为T0=0，左边突然被加热到=100℃，则表示沿杆件长各点的温度随时间变化规律的方程为： (1-1) 0≤x≤L，0t 式中，k－杆件的热导率，cp－杆件的比热，ρ－杆件的密度。 其边界条件为： T(0,t)= =100℃ (1-2) (1-3) 其初始条件为： (1-3) 这就是一个描述该问题的完整的数学模型。 1.1.2 数学模型的要素 由参数、变量、函数关系三部分组成。 参数：过程的已知条件，例如高炉的内型尺寸，鼓风流量、风温，研究对象的性质等 变量：包括自变量和因变量，其中自变量为可以自由变动的量，或称为N维空间的维，而因变量为数学模型的输出结果，因变量的个数与模型中方程的个数相等 函数关系：即构成模型的数学方程 数学模型的分类和主要特点 1.2.1 按建立方法分类 理论型：按照过程的机理，即事物的内在规律、通过理论分析方法建立的模型。特点是容易考虑比较多的因素的影响，物理概念清晰，尤其适用于理论研究和过程的模拟与仿真。缺点是结构庞杂，计算工作量大，在过程机理没有充分认识的情况下，往往需要做很多假设，因而影响计算的精度与可靠性，故在工程上很少运用。 统计型：根据实际过程的统计规律建立起来的模型，只考虑输入和输出参数之间的关系。为了简化模型，通常仅考虑主要的过程参数，因此比较简单，且能够保证计算精度。在过程比较复杂、机理尚未充分认识清楚的情况下，建立这类模型比较合适。但是这类模型有较强的适用范围，不可随意推广，在生产添加经常变化的情况下使用不便。它比较适用于过程控制和调节技术。统计模型一般是应用严格的数理统计方法建立起来的各种回归方程，而经验模型是根据生产者在长期工作中摸索出的规律，模型的形式多样化。 理论-统计型，即混合型：使用理论模型的形式，并根据实际生产数据估计模型中的参数而建立起来的模型。也可以是利用理论模型计算出一种或少量几种指数，然后利用统计技术建立这种指数与待控制的变量之间的关系表达式，从而构成一种混合型的数学模型。它兼具理论模型和统计模型的优点，并可有效地克服它们的缺点，故在工程中得到广泛的应用。高炉的Tc指数用理论模型计算，而Tc与铁水含硅量之间的关系用回归方程计算，从而实现对炉温的控制。 1.2.2 按性质分类 静态模型：不考虑时间变量，只考虑空间变量的数学模型，重要假设为：过程变量不随时间发生变化，即所谓的稳态、准稳态问题的建模问题。 动态模型：同时考虑空间和时间变量的数学模型。 热化学模型：按热力学第一定律（盖斯定律），不考虑反应的历程。 动力学模型：考虑反应速度和影响反应速度的一切因素，例如传热速率、流动现象等。 1.2.3 按用途分类 模拟模型：通过再现和模拟过程中发生的现象，帮助人们认识复杂的冶金过程，研究影响过程效率的主要因素，探索改进工艺的途径。 控制模型：以控制过程的重要输出参数、改进过程的效率为目的。 设计模型：以设计新设备、研究开发新工艺为目的。 从对研究对象的了解程度、研究方法、模型的规模和复杂性、求解方法、使用的计算机、验证数据可得性、计算精度等方面，对这三种模型进行了对比。 1.2.4 按空间坐标的维数分类 一维模型 二维模型 三维模型 1.3 建立数学模型的方法与步骤 1.3.1 对数学模型的要求 现实性，即能够在一定程度上反应研究对象的时间情况 简洁性，模型的结构应该尽量简单明了，减少计算时间 适应性，即随着条件的变化，模型能够有一定的适应能力 根据需要在三者之间谋求平衡。 任何时候也做不到完全地反映真实的客观世界。 1.3.2 方法步骤 确定研究的对象和目的→对系统进行研究→建立数学模型→模型求解→模型的检验→模型的应用→模型的完善与修正 实际上，这是一个反复、循环的过程，尤其是用于工业生产控制的数学模型和控制系统，必须清醒地认识到这一点，不能期望一蹴而就。 1.3.2.3 建模 对于本课程而言， （1）查阅有关文献资料，利用回归分析和曲线拟合技术等，根据以表格和图形表达的试验结果，建立数学表达式，以计算数学模型中的各种参数，特别是各种物相的热物理性质等。 对于模型中特别重要的参数，如果没有现成的研究资料供使用，当然应该进行专门设计的实验研究。研究方法另有专门著作讨论。 （2）建立数学