一级倒立摆MATLAB仿真、能控能观性分析、数学模型、极点配置.doc

题目一： 考虑如图所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。倒立摆系统的参数包括：摆杆的质量（摆杆的质量在摆杆中心）、摆杆的长度、小车的质量、摆杆惯量等。 图 倒立摆系统 设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量( %≤10%，调节时间ts ≤4s ，使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置(x=0)。 要求：1、建立倒立摆系统的数学模型 2、分析系统的性能指标——能控性、能观性、稳定性 3、设计状态反馈阵，使闭环极点能够达到期望的极点，这里所说的期望的极点确定是把系统设计成具有两个主导极点，两个非主导极点，这样就可以用二阶系统的分析方法进行参数的确定 4、用MATLAB 进行程序设计，得到设计后系统的脉冲响应、阶跃响应，绘出相应状态变量的时间响应图。 解： 1 建立一级倒立摆系统的数学模型 1.1 系统的物理模型 如图1所示，在惯性参考系下，设小车的质量为M ，摆杆的质量为m ，摆杆长度为l，在某一瞬间时刻摆角(即摆杆与竖直线的夹角)为θ，作用在小车上的水平控制力为u。这样，整个倒立摆系统就受到重力,水平控制力和摩擦力的3外力的共同作用。 图1 一级倒立摆物理模型 1.2 建立系统状态空间表达式 为简单起见，本文首先假设:(1)摆杆为刚体 ；(2)忽略摆杆与支点之间的摩擦；( 3) 忽略小车与导轨之间的摩擦。 在如图一所示的坐标下，小车的水平位置是y,摆杆的偏离位置的角度是θ，摆球的水平位置为y+lsinθ。这样，作为整个倒立摆系统来说，在说平方方向上，根据牛顿第二定律，得到 （1） 对于摆球来说，在垂直于摆杆方向，由牛顿第二运动定律，得到 （2） 方程(1)，(2)是非线性方程，由于控制的目的是保持倒立摆直立，在施加合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零是合理的。则sinθ≈θ，cosθ≈1。在以上假设条件下，对方程线性化处理后，得倒 （3） （4） 对于（3）（4）两个式子联立求解，得到 （5） （6） 如果选择位移y、速度、角度θ和角速度为系统的状态变量，位移y为系统的输出，控制力u为输入量，并令x1=y,,,,则得到 系统的状态表达式为： （7-a） （7-b） 2 分析系统的性能指标——能控性、能观测性、稳定性 设系统的参数为M=1kg,m=0.1kg,l=1m,重力加速度g=9.81m/s2,于是 故 （8-a） （8-b） 故而有： A=[0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0]; B=[0;1;0;-1]; C=[1 0 0 0]; 2.1 能控性 在MATLAB中，输入 A=[0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0]; B=[0;1;0;-1]; C=[1 0 0 0]; Qc=[B A*B A*A*B A*A*A*B] 得到 Qc = 0 1 0 1 1 0 1 0 0 -1 0 -11 -1 0 -11 0 再输入 rank(Qc)，得到 ans = 4 于是系统是能控的。 2.2 能观测性 在MATLAB中，输入 A=[0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0]; B=[0;1;0;-1]; C=[1 0 0 0]; Q0=[C;C*A;C*A*A;C*A*A*A]; 得到 Q0 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1 再输入rank(Q0) an